Question

Из шара радиусом 6 см вырезан цилиндр наибольшего объема. найдите радиус основания цилиндра

Answer 1

Другими словами надо найти радиус основания вписанного в шар цилиндра.Задача на экстремум.R-радиус шара
Объем данного цилиндра с неизвестным радиусом r и высотой
V=pi*H*r^2. 
Как известно осевым сечением вписанного цилиндра будет прямоугольник с основанием   2r, высотой H и диагональю 2R.
Выразим квадрат радиуса основания цилиндра через его высоту и радиус шара, используя  теорему Пифагора:
r^2 = R^2 − (H/2)^2.
Зависимость объёма вписанного цилиндра от  высоты принимает вид:
V(H) =pi(R^2 − (H/2)^2)H =10,25pi(4R^2−H^2)H = 0,25pi(4R^2*H−H^3)   (0 < H < 2·R)
Найдем производую функции V(H):
V`(H)=0,25pi(4R^2-3H^2) 
V'(H)=0
 0,25pi(4R^2-3H^2)=0
   4R^2-3H^2=0
H^2=(2/3)R^2
H=R√(2/3) (отрицательный не входит в область определения)
r^2 = 2R²/3;   r=R√(2/3)
r=6√(2/3)=6√(2/3):2/3=9√(2/3)