У этой задачки есть очень наглядное решение.
Можно взять три взаимно перпендикулярные координатные оси и разместить четыре вершины прирамиды в точках (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1). Легко убедиться, что любая из вершин, кроме (0,0,0), является вершиной трехгранного угла, заданного в задаче.
Сама пирамида при этом представляет собой правильную треугольную пирамиду, "боковые" грани которой - равнобедренные прямоугольние треугольники, а "основание" - правильный треугольник с вершинами в точках (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1).
Поэтому искомый угол равен 60 градусам.
Эту же мысль (трудно назвать это решением - уж больно просто:)) можно выразить без упоминания координатных осей. Дело в том, что упомянутая пирамида - это часть обыкновенного куба, отсекаемая плоскостью, проходящей через концы трех ребер, имеющих общую вершину.
Берется какая -то вершина куба АBCDA1B1C1D1, например, А, и проводится сечение через точки В, D и А1, у пирамиды А1BDA все трехгранные углы при вершинах "основания" A1BD соответствуют условию задачи. В самом деле, рассмотрим, например, вершину D. Треугольники ADB и ADA1 - равноберенные прямоугольние, поэтому углы АDB и ADA1 равны 45 градусов. Что же касается двугранного угла между плоскостями АDB и ADA1, то это - двугранный угол между гранями куба :), то есть он равен 90 градусам.
Поэтому трехгранный угол при вершине D пирамиды А1BDA удовлетворяет условию задачи. По условию задачи, нужно найти угол A1DB, но он очевидно равен 60 градусам, поскольку треугольник A1DB равносторонний.
Периметр 4-х угольника равен:
P=a+b+c+d
1)"1-я сторона больше 2-ой на 8 см", отсюда можно выразить сторону а:
a = 8+b
2)"на столько же меньше 3-ей стороны", выражаем сторону c:
c=8+a
3)"4-ая в 3 раза больше 2-ой", аналогично выражаем сторону d:
d=3b
Подставляем полученные выражения в формулу периметра 4-х угольника:
(8+b)+(8+a)+b+3b=66
16+5b+a=66
16+5b+(8+b)=66, вместо а мы подставили полученное раннее выражение
24+6b=66
6b=42
b=7
Теперь находим стороны 4-х угольника:
a=8+7 = 15
c=8+15 = 23
d=3*7 = 21
Проверяем:
P=a+b+c+d=66
P=15+7+23+21=66
