Question

Сума катетів прямокутного трикутника дорівнює 9 см . при обертанні трикутника навколо одного з катетів отримали конус масксимального об'єму . знайдіть площу бічної поверхні цього конуса. будь ласочка, хто може, іть

Answer 1

При вращении треугольника первый катет (не знаю какой поэтому так назовём) образует плоскость, которая будет основанием, а её радиусом будет тот же катет.

Гипотенуза будет заметать коническую поверхность конуса, то есть гипотенуза будет образующей.

Вершиной конуса будет вершина треугольника, которая образуется при пересечении второго катета и гипотенузы. Т.к. катеты перпендикулярны, то второй катет будет перпендикулярен плоскости, которую образовал первый катет, то есть основанию, значит второй катет это высота.

Вот мы разобрались, что есть что. Для наибольшего объёма требуется, чтобы первый катет был больше второго, т.к. при вычислении объёма, радиус основания возводиться в квадрат.

Пусть a - первый катет. b - второй. c - гипотенуза.

$a+b=9\Rightarrow a=9-b\\V=f=\frac{\pi}{3}b*a^2=\frac{\pi}{3}b*(81-18b+b^2)=\frac{\pi}{3}(b^3-18b^2+81b);\\f'=\frac{\pi}{3}(3b^2-36b+81)=2\pi (\frac{1}{2}b^2-6b+\frac{27}{2});D=36-27=3^2\\f'=\pi (b-3)(b-9)$

Наибольшее значение функции при b=3 т.к. b может быть от нуля до 9, а на этом промежутке максимальное значение функции при b=3. Значит a=6.

Осталось найти площадь боковой поверхности.

$S=\pi *a*c=6\pi *\sqrt{3^2+6^2}=18\pi *\sqrt{5}$

ответ: 18√5*π см².