Вершины вписанного треугольника делят окружность на три дуги. Длина описанной окружности равна сумме длин трёх дуг. Периметр треугольника равен сумме длин трёх сторон, каждая из которых меньше дуги, построенной на ней. Следовательно, периметр треугольника всегда меньше длины описанной окружности.
1)∠А=50°, ∠В=х, ∠С=12х ∠А+∠В+∠С=180 50+х+12х=180 13х=130°, х=10° ∠В=10°, ∠С=120° 2) ∠С=90° , ∠В=35°, ∠А=90°-35°=55° ΔАСD, ∠D=90°, ∠ACD=35° 3) ΔABC, ∠A=∠B - 60°, ∠C=2*∠A, ∠A=x, ∠B=x+60, ∠C=2x x+(x+60)+2x=180 4x=180-60=120 x=120÷4 x=30 ∠A=30°, ∠B=30°+60°=90°, ∠C=30°*2=60° 4) Высота разбивает равнобедр. треугольник на 2 прямоугольных треугольника. Высота является в полученном треугольнике - катетом и она в 2 раза меньше боковой стороны т.е. гипотенузы, поэтому катет лежит против угла 30°. Значит углы при основании равнобедренного треугольника по 30°, а угол при вершине 180°-30°-30°=120° ответ: наибольший угол при вершине равнобедренного треугольника.
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. 1. Пусть АМ = х, тогда СМ = 3 - х. (3 - x) : x = 3 : 2 6 - 2x = 3x 5x = 6 x = 1,2 AM = 1,2 см, СМ = 1,8 см
2. Так как MN < NK, то MP < PK. Пусть МР = х, тогда РК = х + 0,5 4 : x = 5 : (x + 0,5) 5x = 4x + 2 x = 2 МР =2 см, РК = 2,5 см
3. DE + EP = Pdep - DP = 21 - 7 = 14 см Пусть DE = x, тогда ЕР = 14 - х x : 3 = (14 - x) : 4 4x = 42 - 3x 7x = 42 x = 6 DE = 6 см, ЕР = 8 см
4. Пусть АВ = х, тогда ВС = х + 3. x : 2 = (x + 3) : 3 3x = 2x + 6 x = 6 АВ = 6 см, ВС = 9 см
6. В условии опечатка: надо найти длины сторон CD и DE. DF - диагональ ромба, а диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов, значит DF - биссектриса треугольника. CD + DE = Pcde - CE = 55 - 20 = 35 см Пусть CD = х, тогда DE = 35 - х x : 8 = (35 - x) : 12 12x = 280 - 8x 20x = 280 x = 14 CD = 14 см, DE = 21 см
7. ΔАВС, ∠С = 90°, АМ - биссектриса. Пусть АС = х, тогда по теореме Пифагора АВ = √(х² + 81). x : 4 = √(х² + 81) : 5 5x = 4√(х² + 81) 25x² = 16x² + 81 · 16 9x² = 81 · 16 x² = 9 · 16 x = 3 · 4 = 12 АС = 12 см Sabc = AC · CB / 2 = 12 · 9 = 54 см²
8. Так как точка О равноудалена от катетов, СО - диагональ квадрата, а диагонали квадрата лежат на биссектрисах его углов. Значит СО - биссектриса треугольника. а : 40 = b : 30 b = 30a / 40 = 3a/4 По теореме Пифагора: 70² = a² + 9a²/16 25a²/16 = 4900 a² = 4900 · 16 / 25 = 196 · 16 a = 14 · 4 = 56 CB = 56 см АС = 3 · 56 / 4 = 3 · 14 = 42 см Sabc = CB · AC / 2 = 56 · 42 / 2 = 1176 см²
Длина описанной окружности равна сумме длин трёх дуг.
Периметр треугольника равен сумме длин трёх сторон, каждая из которых меньше дуги, построенной на ней.
Следовательно, периметр треугольника всегда меньше длины описанной окружности.