Question

Основание пирамиды abcd-прямоугольный треугольник с гипотенузой ab, равной 2*sqrt(30)(т.е. 2 корня из 30). cd перпендикулярно са, cd перпендикулярно вс. боковые ребра ad и bd наклонены к плоскости основания под углами 30 и 60 градусов соответственно. найти расстояние от точки d до плоскости abc.

Answer 1

Расстояние от точки D до плоскости ABC является длиной перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, т. е. равно длине отрезка CD.

Δ ACD -- прямоугольный, <C -- прямой, AC и CD -- катеты, <A = 30°.
$\frac{CD}{AC}$ = tg 30° = $\frac{1}{ \sqrt{3}}$
AC = $\sqrt{3}$CD

Δ BCD -- прямоугольный, <C -- прямой, BC и CD -- катеты, <B = 60°.
$\frac{CD}{BC}$ = tg 60° = $\sqrt{3}$
BC =$\frac{CD}{ \sqrt{3} }$

Обозначим CD = x, тогда AC = $\sqrt{3}x$, BC =$\frac{x}{ \sqrt{3} }$.

Δ ACB -- прямоугольный, и для него выполняется теорема Пифагора:
($\sqrt{3}$x)² + ($\frac{x}{ \sqrt{3} }$)² = (2$\sqrt{30}$)²
3x² + $\frac{ x^{2} }{3}$ = 120
10x² = 360
x² = 36
x = +- 6
Так как длина не может быть отрицательной, CD = 6.