АВСД - параллелограмм, АД=ВС , АВ=СД , АД║ВС , АВ║СД .
∠АВС=110° ⇒ ∠ВАД=180°-110°=70° , ∠BCD=∠BAD=70° .
∠LAD=10° , тогда ∠BAL=70°-∠ДАL=70°-10°=60° .
∠KCD=10° , тогда ∠ВСК=∠ВСD-∠KCD=70°-10°=60° .
Рассмотрим два треугольника: ΔABL и ΔBCK .
Так как в ΔABL две стороны равны АВ=АL по условию , то ΔABL -равнобедренный. А так как ещё и угол в равнобедренном треугольнике ∠ВАL=60°, то этот треугольник - равносторонний, следовательно ВL=AB=AL=CD, ∠АВL=60° ⇒
∠CBL=110°-∠ABL=110°-60°=50° .
Аналогично, ΔВСК - равносторонний (КС=ВС по условию и ∠ВСК=60°) , следовательно ВК=ВС=СК=AD, ∠KBC=60° ⇒
∠KBL=∠KBC-∠CBL=60°-50°=10° .
Теперь рассмотрим три равных треугольника: ΔADL=ΔKCD=ΔKBL . Они равны по 1 признаку равенства треугольников:
AD=KC=BK , AL=CD=BL , ∠LAD=∠KCD=∠KBL=10° .
Отсюда следует, что стороны LD=KD=KL ⇒ ΔKLD - равносторонний, а в равностороннем треугольнике все углы равны 60°.
Значит, искомый угол ∠KDL=60° .
√80 меньше √81, поэтому расстояние между центрами окружностей мешьше суммы их радиусов. Они накладываются друг на друга. Для решения задачи это значения не имеет.
Соединим центры окружностей между собой и точками касания с их общей касательной.
Получилась прямоугольная трапеция с основаниями 4 и 8 и одной из боковых сторон, равной √80
Опустим высоту из центра меньшей окружности на радиус ( большее основание трапеции) большей окружности.
Получили прямоугольный треугольник с меньшим катетом, равным разности между радиусами и равным 4, и гипотенузой , равной √80.
Второй катет равен расстоянию между точками касания.
По тероеме Пифагора оно равно
((√80)²- 4²)=√64.
Расстояние между точками касания равно 8 см
