Question

Через вершину с правильного треугольника авс, в котором ас=16 см, проведён перпендикуляр рс к плоскости треугольника.найти угол между плоскостями авс и арв, если рв=20 см.

Answer 1

Проведём высоту треугольника ABC из вершины С к основанию и обозначим точку на основании М

Высота равностороннего треугольника при известной стороне 16 см будет составлять:
$h= \frac{a \sqrt{3} }{2}= \frac{16 \sqrt{3} }{2} =8 \sqrt{3}$ см.

Высота первого треугольника h у нас будет образовывать сторону второго треугольника CPM.

Угол с второго треугольника СРМ является прямым, поскольку через вершину С первого треугольника проведён перпендикуляр к плоскости треугольника АВС.

Находим строну РМ треугольника СРМ из соотношения:

$PM^{2}=CM^{2}^+CP^{2} \\ PM= \sqrt{CM^{2}^+CP^{2}} = \sqrt{ (8 \sqrt{3})^{2}+20^{2} } = \\ = \sqrt{192+400} =24.331$

Причём:
CМ = h = 8√3 см,
СР = 20 см.
PM=24.331 см
Угол с = 90°

Для решения задачи по этим данным необходимо найти величину угла < PMC = m. (m малое)

Из теоремы синусов:

$\frac{PC}{Sin m} = \frac{PM}{Sin m}$

Выводим формулу относительно Sin m:

$Sin m = \frac{PC*Sinc}{PM}$

Поскольку угол с является прямым (90°) и значение его синуса равно 1 (единице), то формула для нахождения величины угла m упрощается:

$Sinm= \frac{PC}{PM}$

Подставляем значения в выведенную формулу и находим значения синуса угла m:

$Sin m = \frac{20}{24.331} = 0.822$

Находим величину угла m:

$m =arcsin 0.822=55.286$

ответ: Угол между плоскостями АВС и АРВ составляет = 55.286°