Question

Впрямом параллепипеде стороны основанния 17 и 28 см большая диагональ основания 39 см . найти площадь полной поверхности и обьем если меньшая диагональ параллепипеда образует с плоскостью основания угол в 30 градусов

Answer 1

Пусть АВСDA1B1C1D1 - данный параллелепипед. АВ=17 см, ВС=28 см, АС=39 см. Угол ВDВ1 = 30 градусов.

1. Используя следствие из теоремы косинусов (сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон), находим меньшую диагональ основы ВD.

$AC^2 + BD^2 = 2AB^2 + 2BC^2$ 

$BD = \sqrt {2*289+2*784-1521} = 25$ (см)

2. Из прямоугольного треугольника B1BD находим высоту параллелепипеда ВВ1, используя определение тангенса.

tg BDB1 = BB1/BD

BB1=tg BDB1 * BD = $\frac {25 \sqrt {3}} {3}$ (см)

3. Находим периметр основы.

Р = 2(АВ+ВС) = 2(17+28) = 90 (см)

4. Находим площадь боковой поверхности по формуле.

S=Ph

S= 90 * $\frac {25 \sqrt {3}} {3}$ =  $750 \sqrt {3}$    (кв. см)

5. Находим площадь основы.

S ABCD = 2S ABC 

А площадь треугольника АВС находим по формуле Герона. Она равна 210 кв. см.

S ABCD = 2*210 = 420 (кв. см)

6. Находим полную площадь поверхности по формуле.

Sп = Sб + 2Sо

Sп = $750 \sqrt {3}$ + 840 (кв. см)

7. Находим объём по формуле.

V = Sоh

V = 420*  $\frac {25 \sqrt {3}} {3}$ = $3500 \sqrt {3}$  (куб. см)