Щоб знайти площу ромба, нам потрібно знати довжину його сторони. Оскільки у завданні вказано лише периметр ромба, ми спочатку знайдемо довжину сторони, а потім використаємо цю інформацію для обчислення площі.
Периметр ромба обчислюється за формулою: P = 4s, де P - периметр, s - довжина сторони.
У нашому випадку P = 40 см, тому 40 = 4s. Ділимо обидві частини рівняння на 4: s = 40 / 4 = 10 см.
Тепер, коли ми знаємо довжину сторони ромба, можемо знайти його площу. Площа ромба обчислюється за формулою: S = (d₁ * d₂) / 2, де d₁ і d₂ - діагоналі ромба.
У ромбі діагоналі перпендикулярні одна до одної і перетинаються під кутом 90°. Завдяки цьому, можемо розбити ромб на дві прямокутні трикутники.
Візьмемо один з цих трикутників. Висота трикутника дорівнює стороні ромба, оскільки кут між стороною і висотою складає 60°. Таким чином, ми маємо прямокутний трикутник з відомою стороною (10 см) і відомим кутом (60°).
За до тригонометричних функцій можна знайти довжину однієї зі сторін трикутника. У нашому випадку відомий гіпотенуза (10 см) і кут (60°), тому ми можемо використати косинус: cos(60°) = a / 10.
cos(60°) = 1/2, отже, 1/2 = a / 10.
Множимо обидві частини рівняння на 10: 10 * (1/2) = a.
5 = a.
Таким чином, друга сторона прямокутного трикутника дорівнює 5 см.
Тепер, коли ми знаємо довжину однієї сторони ромба (10 см) і довжину однієї з його діагоналей (5 см), ми можемо обчислити площу ромба.
Площа ромба обчислюється за формулою: S = (d₁ * d₂) / 2, де d₁ і d₂ - діагоналі ромба.
У нашому випадку, ми знаємо одну діагональ (5 см), але потрібно знайти другу діагональ.
Зауважимо, що у ромбі діагоналі діляться навпіл і перпендикулярні одна до одної. Оскільки кут між стороною і висотою ромба складає 60°, то ми можемо утворити прямокутний трикутник з половиною діагоналі, стороною ромба і відрізком, що з'єднує дві вершини ромба.
У цьому прямокутному трикутнику, сторона ромба (10 см) є катетом, а половина діагоналі є гіпотенузою.
Застосовуючи тригонометрію, ми можемо обчислити довжину половини діагоналі. Застосуємо тангенс кута, оскільки у нас відомі протилежний катет (10 см) і прилеглий катет (половина діагоналі).
tan(60°) = протилежний катет / прилеглий катет.
tan(60°) = √3.
Отже, √3 = 10 / прилеглий катет.
Множимо обидві частини рівняння на прилеглий катет:
прилеглий катет * √3 = 10.
Тепер можемо обчислити прилеглий катет:
прилеглий катет = 10 / √3.
Раціоналізуємо дріб:
прилеглий катет = (10 / √3) * (√3 / √3) = (10√3) / 3.
Таким чином, половина діагоналі дорівнює (10√3) / 3.
Аби знайти повну діагональ ромба, множимо половину діагоналі на 2, оскільки діагоналі діляться навпіл і перпендикулярні одна до одної.
Повна діагональ (d) ромба дорівнює: d = 2 * (10√3) / 3.
d = (20√3) / 3.
Тепер, коли у нас є довжина обох діагоналей (5 см і (20√3) / 3 см), ми можемо обчислити площу ромба.
Площа ромба обчислюється за формулою: S = (d₁ * d₂) / 2, де d₁ і d₂ - діагоналі ромба.
S = (5 * (20√3) / 3) / 2.
S = (100√3) / 6.
Раціоналізуємо дріб:
S = (50√3) / 3.
Таким чином, площа ромба дорівнює (50√3) / 3 квадратних сантиметрів.
Відповідь: S трап = 72 см² .
Пояснення:
У трапеції ABCD BC║AD , BA⊥AD ; т. О - центр вписаного в
трапецію кола . Точка М - точка дотику ; СМ = 2 см , МD = 8 см .
ОМ = r - радіус впис. кола . ΔOCD - прямокутний , тому
ОМ = r = √( CM * MD ) = √( 2 * 8 ) = √16 = 4 ( см ) ; r = 4 см .
За власт. дотичних , проведених із точки до кола маємо :
h = 2 * r = 2 * 4 = 8 ( см ) . BC = BN + CN = 4 + 2 = 6 ( см ) ;
AD = r + MD = 4 + 8 = 12 ( см ) .
S трап = ( BC + AD ) * h/2 = ( 6 + 12 ) * 8/2 = 18 * 4 = 72 ( см² ) ;
S трап = 72 см² .
