Question

Докажите что медианы треугольника пересекаются в одной точке которая делит их в отношении 2 к 1 считая от вершины

Answer 1

ΔABC; медианы AA_1 и BB_1; пересекаются в точке G. Через A_1 проводим прямую, параллельную BB_1, пересекающую AC в точке D.
Угол ACB пересекается параллельными прямыми⇒по теореме о пропорциональных отрезках B_1D:DC=BA_1:A_1C=1:1⇒B_1D=DC⇒AB_1=2B_1D.

Угол CAA_1 пересекается параллельными прямыми⇒по теореме о пропорциональных отрезках 
AG:GA_1=AB_1:B_1D=2:1.

Таким образом, медиана BB_1 в точке пересечения разделила медиану AA_1 в отношении 2 к 1, считая от вершины. Поскольку мы взяли две произвольные медианы, доказано, что каждая из них разделит каждую в отношении 2 к 1. Поэтому во-первых они пересекаются в одной точке, а во-вторых, делятся точкой пересечения в отношении 2 к 1, считая от вершины.

Замечание для продвинутых (21+)))
Знающие теорему Чевы вопрос о том, что медианы пересекаются в одной точке, не задают. А знающие к тому же теорему Менелая, не спрашивают и про отношение 2 к 1. А знающие теорему Ван-Обеля   просто умирают при этом со смеху, потому что для них решение прокручивается устно в голове за 0,5 секунды максимум