Точка М равноудалена от сторон ромба, следовательно, проецируется в точку пересечения диагоналей ромба.
Расстояние от М до сторон равно длине отрезка МК, проведенного перпендикулярно к стороне ромба. Проекции этого отрезка равна радиусу вписанной в ромб окружности, который, проведенный в точку касания К со стороной ромба перпендикулярен ей.
Диаметр вписанной в ромб окружности равен высоте ромба.
а) Для стороны ромба:
Сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей. Ромб - параллелограмм, все стороны которого равны.
4 АВ²= 16²+12²=256+144=400
АВ²=100 ⇒ АВ=√100=10.
б) Для высоты ромба:
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
S=12•16:2=96 см²
Площадь ромба равна произведению высоты на его сторону:
S=h•a; 96=h•10; h=9,6 ⇒ r=9,6:2=4,8 см
Из прямоугольного ∆ МОК искомое расстояние
МО=√(MK²-OK²)=√(64-23,04)=6,4 см
* * *
Формула объема шарового сектора V=
•πR²•h, где h - высота шарового сегмента с той же дугой в осевом сечении шара.
На рисунке приложения это КН.
∆ АОВ - прямоугольный, т.к. дуга АВ=90°
КО=АО•sin45°
см
KH=R-OK=9-4,5√2=2,636 см²
V=•π•81•2,636=142,346π см³
* * *
Пусть вершина конуса М, его высота МО, радиус ОА=5 см, хорда АВ - основание сечения, его высота НМ=6 см является расстоянием от хорды до вершины конуса М.
Угол, под которым плоскость пересекает плоскость основания конуса - угол между двумя проведенными перпедикулярно к АВ лучами МН и ОН.
Тогда ∆ МОН - прямоугольный равнобедренный, НО=МО=МН•sin45°
V=S•h=πr²•h
V=π•25•3√2):3=π•25√2 см³
Точки A,B и К не лежат на одной прямой. Тогда через них проходит единственная плоскость а. Докажем, что точка С также лежит в а.
Известно, что если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости (то есть, все точки прямой лежат в этой плоскости). Точки А и В прямой m лежат в плоскости а, тогда все точки прямой m также лежат в плоскости а. Точка С лежит на прямой m, тогда точка С лежит в плоскости а. Таким образом, все четыре точки А,В,С,К лежат в плоскости а, что и требовалось доказать.