Question

Еденичные векторы l1 и l2 взаимно перпендикулярны и вектор a=2l1-l2,вектор b=l1-l2/найдите значения вектор а по модулю,вектор b по модулю,вектор а + веткор b по модулю.

Answer 1

Имеем:
$a = 2l_1 + l_2\\ b = l_1-l_2$
так же известно, что скалярные произведения равны:
$(l_1,l_2)=0\\ (l_1,l_1)=|l_1|^2\\ (l_2,l_2)=|l_2|^2$
тогда:
$|a|^2 = |2l_1-l_2|^2=(2l_1-l_2,2l_1-l_2)=(2l_1,2l_1-l_2)+(-l_2,2l_1-l_2)=\\ (2l_1,2l_1-l_2)+(-l_2,2l_1-l_2) = \\ (2l_1,2l_1)+(2l_1,-l_2)+(-l_2,2l_1)+(-l_2,-l_2)= \\ 4(l_1,l_1)-2(l_1,l_2)-2(l_2,l_1)+(l_2,l_2)=\\ 4|l_1|^2+|l_2|^2$
$|a|=\sqrt{4|l_1|^2+|l_2|^2}$

$|b|^2=|l_1-l_2|^2=(l_1-l_2,l_1-l_2)=\\ (l_1-l_2,l_1)+(l_1-l_2,-l_2)=\\ (l_1,l_1)+(-l_2,l_1)+(l_1,-l_2)+(-l_2,-l_2)=\\ (l_1,l_1)-(l_2,l_1)-(l_1,l_2)+(l_2,l_2)=\\ |l_1|^2+|l_2|^2$
$|b|=\sqrt{|l_1|^2+|l_2|^2}$

$|a+b|^2=|2l_1-l_2+l_1-l_2|^2=|3l_1-2l_2|^2=(3l_1-2l_2,3l_1-2l_2)=\\ (3l_1-2l_2,3l_1)+(3l_1-2l_2,-2l_2)=\\ (3l_1,3l_1)+(-2l_2,3l_1)+(3l_1,-2l_2)+(-2l_2,-2l_2)=\\ 9(l_1,l_1)-6(l_2,l_1)-6(l_1,l_2)+4(l_2,l_2)=\\ 9|l_1|^2+4|l_2|^2$
$|a+b|=\sqrt{9|l_1|^2+4|l_2|^2}$

точно!, l1 и l2 единичные, значит их модули равны единице, тогда:
$|a|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
$|b|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
$|a+b|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$