Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Значит перпендикуляр, опущенный из вершины на диагональ квадрата - это половина его второй диагонали.
Построение:
1. Проведем прямую а и отметим на ней точку О. Построим окружность с центром в точке О и радиусом, равным данному отрезку b. Точки пересечения окружности с прямой а обозначим А и С.
2. Построим перпендикуляр к прямой а, проходящий через точку О. Для этого проведем две окружности с центрами в точках А и С одинакового произвольного радиуса (больше половины отрезка АС). Через точки пересечения окружностей проведем прямую k. k⊥AC.
3. Построим окружность с центром в точке О и радиусом, равным данному отрезку b. Точки пересечения этой окружности с прямой k обозначим В и D.
В сечении имеем равнобедренный треугольник МРК. МК = МР. Сторона РК (по свойству подобных треугольников) равна 1/4 части ВС: РК =a/4. Так как углы всех граней тетраэдра равны 60°, то длину сторон МК и МР находим по теореме косинусов из треугольника МДP: (по условию МД = a/2, а КД = РД = a/4) PM = √((a²/4)+(a²/16)-2*(a/2)*(a/4)*cos60) = = √((4a²+a²-2a²)/16 = (a√3) / 4. Высота h треугольника РМК равна: h = √((3a²/16) - ((a/4)/2)²) = a√22 / 8. Искомая площадь равна: S(MPK) = (1/2)*(a/4)*(a√22/8) = a²√22 / 64.
В сечении имеем равнобедренный треугольник МРК. МК = МР. Сторона РК (по свойству подобных треугольников) равна 1/3 части ВС: РК = 6/3 = 2. Так как углы всех граней тетраэдра равны 60°, то длину сторон МК и МР находим по теореме косинусов из треугольника МДК: (по условию МД = 3, а КД = РД = 6/3 = 2) Теперь все стороны известны и по Герону находим площадь: a b c p 2p S 2.64575 2 2.64575 3.64575 7.2915026 2.4494897 cos A = 0.3779645 cos B = 0.7142857 cos С = 0.377964473 Аrad = 1.1831996 Brad = 0.7751934 Сrad = 1.18319964 Аgr = 67.792346 Bgr = 44.415309 Сgr = 67.7923457
Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Значит перпендикуляр, опущенный из вершины на диагональ квадрата - это половина его второй диагонали.
Построение:
1. Проведем прямую а и отметим на ней точку О. Построим окружность с центром в точке О и радиусом, равным данному отрезку b. Точки пересечения окружности с прямой а обозначим А и С.
2. Построим перпендикуляр к прямой а, проходящий через точку О. Для этого проведем две окружности с центрами в точках А и С одинакового произвольного радиуса (больше половины отрезка АС). Через точки пересечения окружностей проведем прямую k. k⊥AC.
3. Построим окружность с центром в точке О и радиусом, равным данному отрезку b. Точки пересечения этой окружности с прямой k обозначим В и D.
Квадрат ABCD построен.