Question

Втрапеции abcd боковая сторона ab перпендикулярна основанию bc. окружность проходит через точки c и d и касается прямой ab в точке e. найдите расстояние от точки e до прямой cd если ad=15, bc=12.

Answer 1

По условию задачи AB перпендикулярна BC, следовательно перпендикулярна и AD (т.к. в трапеции основания параллельны). Расстояние от точки Е до прямой CD - отрезок, перпендикулярный CD и проходящий через точку Е. Продолжим стороны AB и CD до пересечения в точке T. Проведем CK параллельно AB. KC=AB (т.к. ABKC - прямоугольник). KD=AD-AK=16-15=1 По определению косинуса: cos∠CDK=KD/CD=1/CD Рассмотрим треугольники TCB и CKD. ∠CTB=∠DCK (т.к. это соответственные углы при параллельных прямых TA и CK) ∠TBC=∠CKD=90° Следовательно, эти треугольники подобны (по первому признаку подобия). Тогда, BC/KD=TC/CD 15/1=TC/CD TC=15CD По теореме о касательно и секущей: TE2=TD*TC=(TC+CD)*TC=(15CD+CD)15CD=16CD*15CD=240CD2 TE=CD√240=4CD√15 Рассмотрим треугольники TEF и TAD. ∠CTB - общий ∠EFT=∠TAD=90° Следовательно, применив теорему о сумме углов треугольника, получаем, что ∠TEF=∠ADT. Следовательно, cos∠TEF=cos∠ADT. EF=TE*cos∠TEF=TE*cos∠ADT=TE/CD=4CD√15/CD=4√15 ответ: EF=4√15