Две стороны треугольника равны 3 и 5. Известно, что окружность, проходящая через середины этих сторон и их общую вершину, касается третьей стороны треугольника. Найдите третью сторону.
––––––––––––––––
АН и СН - касательные к окружности.
АВ - секущая, АК - её внешняя часть.
АВ=3, АК=0,5 АВ=1,5
СВ - секущая, СМ - её внешняя часть
СВ=5, СМ=СВ:2=2,5
Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. ⇒
АН ²=АВ•AK=3*1,5=4,5=450/100
АН=√4,5=√(450/100)=√(9*25*2:100)=(3•5√2)/10=1,5√2
СН²=СВ•CM=5*2,5=1250/100
CH=√(25•25•2/100)=(25√2)/10=2,5√2
АС=АН+СН=1,5√2+2,5√2=4√2
Проведемо висоти BЕ та CF. Нехай АЕ = Х. Тоді АF = X + 8, DE = 24 - X.
Згідно з теоремою Піфагора
Н² = 13² - (Х + 8)² = (5 * √ 17)² - (24 - Х)²
169 - Х² - 16 * Х - 64 = 425 - 576 + 48 * Х - Х²
64 * Х = 256
Х = 4
Тоді Н = √ (13² - 12²) = √ 25 = 5 см,
а S = (8 + 24) * 5 / 2 = 80 см².