Question

Втреугольнике авс проведены биссектрисы ад и се. найдите радиус вписанной окружности в треугольнике вде, если ас = 60, ае = 20, сд = 30.

Answer 1

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные двум другим сторонам, т.е.:
$\frac{AC}{CD} = \frac{AB}{CB}$ и  $\frac{AC}{AE} = \frac{CB}{EB}$
Пусть EB = x, BD = y. Получим 2 уравнения:
$\left \{ {{ \frac{60}{30} = \frac{20+x}{y}} \atop {\frac{60}{20} = \frac{30+y}{x}}} \right. ; \left \{ {{2y=20+x} \atop {3x=30+y}} \right. ; \left \{ {{x=2y-20} \atop {6y-60=30+y}} \right. ; \left \{ {{x=16} \atop {y=18}} \right. .$
EB = 16; BD = 18, тогда
АВ = 20 + 16 = 36
ВС = 30 + 18 = 48
Заметим, как относятся стороны треугольника АВС:
АВ : ВС : АС = 60 : 48 : 36 = 5 : 4 : 3 - египетский треугольник, т.е. ΔАВС - прямоугольный с прямым углом В.
Тогда ΔЕВD - так же прямоугольный, его катеты равны 16 и 18, найдем гипотенузу ED:
$ED = \sqrt{16^2+18^2} = \sqrt{256+324} = \sqrt{580} = 2\sqrt{145}$
Площадь прямоугольного ΔЕВD:
S = EB * BD /2 = 16*18/2 = 144
Полупериметр ΔЕВD:
p = (EB + BD + ED)/2 = (16+18+2√145)/2 = (34 + 2√145)/2 = 17 + √145
радиус вписанной окружности:
r = S / p = 144/(17+√145) = 17-√145