1. Сторона прямоугольника равна 5 см, а диагональ - 13 см. Найдите площадь прямоугольника:
Сторона по теореме Пифагора равна √13² - 5² = 12 см. Площадь равна 12 см•5см = 60 см.
2. Периметр равнобедренного треугольника равен 32 см, а основание его на 2 см больше боковой стороны. Найдите площадь треугольника:
За х обозначим боковую сторону. Получаем уравнение: х + х + 2 + х = 32 х = 10 Затем нужно провести высоту на основание. Она будет медианой. По теореме Пифагора её длина равна √10² - 6² = 8 см. Площадь треугольника равна 1/2•12 см•8 см = 48 см.
3. Найдите стороны между меньшими сторонами сторонами треугольника, если стороны треугольника относятся как 9:14:15.
Обозначим за х одну часть. По обратной теореме Пифагора, если выполняется равенство a² + b² = c² (81x² + 144x² = 225x²). Значит, угол межлв меньшими сторонами равен 90°.
4. Периметр прямоугольного треугольника равен 12 см, а его гипотенуза на 2 больше меньшего катета. Найдите стороны этого треугольника: Составим систему, обозначив за а и b катеты, за с - гипотенузу. a + b + c = 12 a + 2 = c a² + b² = c²
a = 3 b = 4 c = 5
5. Стороны прямоугольного треугольника выражаются целыми числами. Площадь квадрата со стороной, равной гипотерузе этого прямоугольного треугольника, относится к площади треугольника как 25/6. Докажите, что данный треугольник является Египетским треугольником.
Наименьшая площадь квадрата равна 25. Тогда его сторона равна 5. Наименьшая площадь треугольника равна 6. 1/2ab = 6 a² + b² = 5
a = 3 b = 4 Значит, треугольник является Египетским, т.а. его стороны относятся как 3:4:5.
Проведем AC и AD. Получили три треугольника, в каждом из котором искомый угол. Дан правильный пятиугольник. Значит все углы пятиугольника равны (ABC BCD CDE и тд). Сумма углов пятиугольника равна 180(n-2)=540 , а каждый из его углов 540/5=108 градусов. Теперь про треугольники, которые мы отсекли. Они равнобедренные, но для задачи будем использовать лишь ABC и DAE. Равнобедренные они так как две стороны каждого из них являются сторонами пятиугольника, правильного по условию. значит его углы при основании равны и равны (180-108)/2=36 градусов. Теперь рассмотрим угол CAD=EAB-BAC-DAE=108-36-36=36градусов. Таким образом мы доказали, что углы BAC=CAD=DAE
