Эту задачу можно решить с применением т.косинусов. В данном ниже решении т.косинусов не применяется.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны. ∠В=120°, ⇒ углы А и С при основании АС равны (180°-120°):2=30°. Проведем высоту АН к боковой стороне ВС ( она пересечет ее продолжение). АН - катет и противолежит углу С=30°. ⇒ АН=АС:2=√21 ( свойство). Угол АВН – внешний при вершине В и равен сумме двух не смежных с ним (свойство). Угол АВН=2•30°=60° откуда АВ=АН:sin60°=√21:(√3)/2)=2√7. ⇒ ВН=АВ•cos60°=√7.
ВС=АВ (дано).⇒ ВМ=СМ=√7 ⇒ HM=BH+BM=2√7 Из ∆ МАН по т.Пифагора АМ=√(АН²+МН²)=√(21+28)=7 (ед. длины)
Проведём сечение пирамиды через рёбра BS и ES. Плоскость этого сечения будет перпендикулярной к заданной плоскости сечения, так как диагональ АС перпендикулярна диагонали ВЕ. В сечении получим 2 треугольника: BSE и KME. Ребро BS как гипотенуза равно 6√2. КМ - это линия наибольшего наклона плоскости. Отрезок ВК на стороне ВЕ равен половине стороны шестиугольника как катет, лежащий против угла в 30 градусов. Отношение ВК : ВЕ равно отношению SM : SE (3 / 12 = (3/√2) / (6√2), или 1/4 = 1/4. Отсюда вывод: треугольники BSE и KME подобны. Отрезок КМ, как и BS, имеет наклон к плоскости основы под углом 45 градусов.
Сечение шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ АС под углом 45 ° представляет собой пятиугольник, состоящий из трапеции и треугольника.
У трапеции нижнее основание АС равно AC = 2*6*cos30° = 2*6*(√3/2) = 6√3. Верхнее основание трапеции определяется из условия пересечения заданной плоскости с рёбрами SD и DF. В плоскости ВSE верх трапеции - точка Н. Высоту трапеции КН найдём из треугольника КНF₁, образованного пересечением заданной плоскости и плоскости, проходящей чрез рёбра SD и DF. В этом треугольнике известно основание КF₁ = 3 + 3 = 6 и угол НКF₁ = 45°. Поэтому он подобен треугольнику F₁BS по двум углам. Сторона F₁B равна 6 + 3 = 9. Коэффициент подобия равен 6/9 = 2/3.Тогда КН = (2/3)*BS = (2/3)*6√2 = 4√2. Высота точки Н равна 4√2*sin 45° = 4√2*(√2/2+ = 4. Верхнее основание трапеции определяется из условия подобия треугольников SH₁H₂ и SDF по высотам от вершины S, равными 2 и 6. H₁H₂ = DF*(2/6) = 6√3*(1/3) = 2√3.
Тогда S₁ = (1/2)*((6√3)+(2√3))*4√2 = 16√2.
У треугольника ВМЕ высота точки М равна 6*(9/12) = 4,5. Отсюда высота треугольника H₁МH₂ равна (4,5 - 4)/sin 45° = (1/2)/(√2/2) = (1/2)√2. Тогда S₂ = (1/2)*(2√3))*((1/2)√2) = (1/2)√6.
Площадь сечения равна: S = S₁ + S₂ = (16√6) + (√6/2) = (33√6)/2 = 40.41658.
) Построение равнобедренного треугольника по основанию и боковой стороне. 1. Проводим прямую "а". 2. Замеряем циркулем длину данного нам основания. 3. Откладываем на прямой "а" от произвольной точки А отрезок АС, равный данному основанию. 3. Замеряем циркулем длину данной нам боковой стороны. 4. Устанавливаем ножку циркуля в точку А и радиусом, равным АВ, делаем дугу над прямой "а". 5. Устанавливаем ножку циркуля в точку С и радиусом, равным АВ, делаем дугу над прямой "а" до пересечения ее с первой дугой, получая точку пересечения В. 6. Соединяем точки А,В и с. Получен искомый треугольник. 2) Этот же алгоритм и для построения треугольника по трем сторонам. Только в пунктах 1,2 и 3 откладываем на прямой "а" ПЕРВУЮ сторону треугольника. В пункте 4 работаем со ВТОРОЙ стороной, то есть устанавливаем ножку циркуля в точку А и радиусом, равным длине ВТОРОЙ стороны, делаем дугу над прямой "а". В пункте 5 работаем с ТРЕТЬЕЙ стороной, то есть устанавливаем ножку циркуля в точку С и радиусом, равным длине ТРЕТЬЕЙ стороны, делаем дугу над прямой "а" до пересечения ее с первой дугой, получая точку пересечения В.
Эту задачу можно решить с применением т.косинусов. В данном ниже решении т.косинусов не применяется.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны. ∠В=120°, ⇒ углы А и С при основании АС равны (180°-120°):2=30°. Проведем высоту АН к боковой стороне ВС ( она пересечет ее продолжение). АН - катет и противолежит углу С=30°. ⇒ АН=АС:2=√21 ( свойство). Угол АВН – внешний при вершине В и равен сумме двух не смежных с ним (свойство). Угол АВН=2•30°=60° откуда АВ=АН:sin60°=√21:(√3)/2)=2√7. ⇒ ВН=АВ•cos60°=√7.
ВС=АВ (дано).⇒ ВМ=СМ=√7 ⇒ HM=BH+BM=2√7 Из ∆ МАН по т.Пифагора АМ=√(АН²+МН²)=√(21+28)=7 (ед. длины)