От квадрата со стороной a отсечены:
треугольник, равный 1/8 площади квадрата
два симметричных треугольника с катетами a и a*tg15
Искомая площадь равна
S= a^2(1 -1/8 -tg15) =a^2(8√3 -9)/8
R - радиус описанной окружности
Сторона квадрата a =R√2
Сторона треугольника 12 =R√3
a= 12*√2/√3 =4√6
S= 12(8√3 -9) =96√3 -108
Центр окружности - на пересечении диагоналей квадрата. Треугольник имеет с квадратом общую вершину, следовательно серединный перпендикуляр к основанию совпадает с диагональю квадрата.
AO/OH =2/1 (AH - медиана), AO=OC (радиусы) => OC/OH =2/1.
BD⊥AC, EF⊥AC => BD||EF. По теореме Фалеса EF делит стороны BC и CD в том же отношении, что и OC, то есть пополам.
DAE= (DAB-EAF)/2 =(90-60)/2 =15
tg15 =tg(30/2) =(1-cos30)/sin30 =2(1-√3/2) =2-√3
Предположим, что можно построить два угла, равных данному, одной из сторон которых будет луч ОА.
Это углы ВОА = B'OA.
Отметим на луче ОА произвольную точку К, а на лучах ОВ и ОВ' равные отрезки ОС и ОС' соответственно.
Тогда ΔСОК = ΔС'ОК по двум сторонам и углу между ними (ОС = ОС' по построению, ОК - общая сторона, а ∠ВОА = ∠B'OA), но тогда сторона СО совпадет со стороной С'О, т.е. луч ОВ совпадает с лучом ОВ'.
Значит от луча ОА можно отложить единственный угол, равный данному.