Высота боковой грани называется "апофема".
Линейный угол двугранного угла между боковой гранью и основанием - это угол между апофемой и её проекцией на основание. Если рассмотреть все три треугольника, образованных апофемой любой из граней, её проекцией и высотой пирамиды, то все эти прямоугольные треугольники равны - у них есть общий катет (высота пирамиды) и одинаковые противолежащие острые углы. Это означает, что все апофемы равны между собой, а также - что равны все проекции апофем на основание.
Поскольку все проекции апофем равны, то проекция вершины пирамиды РАВНОУДАЛЕНА от сторон треугольника в основании, то есть это - центр вписанной в основание окружности. То есть доказаны оба пункта.
(на самом деле, если взять ЛЮБУЮ пирамиду - с любым числом граней, и потребовать ТОЛЬКО ОДНО - что все боковые грани одинаково наклонены к основанию, то это автоматически означает, что 1. в МНОГОУГОЛЬНИК в основании МОЖНО вписать окружность, и 2. вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности. Все, что дополнительно требуется - чтобы многоугольник в основании был выпуклым.)
Остается вычислить радиус вписанной в основание окружности (который, как было показано, и есть - проекция апофемы).
В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с основанием а и углом при основании α. Поскольку центр вписанной в такой треугольник окружности лежит на пересечении биссектрисы острого угла α и высоты-медианы-биссектрисы угла при вершине, то для радиуса вписанной окружности сразу можно записать соотношение
r = (a/2)*tg(α/2).
Это - ответ. :)
Я там картинку добавил.
Треугольники DOM, DON и DOK равны. О - проекция вершины D на плоскость АВС, через DO проводится плоскость перпендикулярно АВ, поэтому DM и OM - перпендикуляры к АВ, угол DMO - линейный угол двугранного угла. Треугольники равны, потому что задано, что углы DMO, DKO и DNO равны, а DO - общий катет.
Поэтому О равноудалена от сторон, ОК = r.
Дальше, угол ОСК = α/2, СК = а/2, откуда r = (a/2)*tg(α/2).
Не знаю каким методом это решать.. Но, если подумать, то:
1) Первое, что получаем - сумма сторон равна 50м (2а+2б=100)
2) Просто, рассматривая различные модели, наблюдаем зависимость:
если 1 сторона очень маленькая, а другая очень большая - диагональ наибольшая (можно взять 1 и 49 и посчитать через теорему Пифагора)
Следовательно, брать обратное, что-то иное, не имеет смысла, так что движемся к квадрату:
стороны по 25. Диагональ квадрата - корень из 2 * сторону. Получаем, где-то 35. То есть, я думаю, наш оптимум.
раарольимппаарлд