1. <CBM=<AMB как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых ВС и AD секущей ВМ. Но <CBM=<ABM, т.к. ВМ - биссектриса, значит <AMB=<ABM, и треугольник АВМ равнобедренный (углы при его основании ВМ равны между собой). АВ=АМ. <CKD=<ADK как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых ВС и AD секущей KD. Но <ADK=<CDK, т.к. DK - биссектриса, значит <CKD=<CDK. Треугольник CKD получается равнобедренным с равными углами при его основании DK. CD=CK Т.к. ABCD - параллелограмм, то АВ=CD. Но мы выше вывели, что АВ=АМ, а CD=CК, значит АМ=СК Треугольники АМВ и CKD получаются равны по двум сторонам и углу между ними: АВ=CD, АМ=СК, углы А и С равны как противоположные углы параллелограмма.
2. ВК=ВС-СК, DM=AD-АМ. Поскольку ВС=AD, а СК=АМ (как равные соответственные стороны равных треугольников АМВ и CKD), то ВК=DM. Эти отрезки лежат на параллельных сторонах ВС и AD, значит, они также параллельны. Значит, BKDM - параллелограмм (две стороны равны и параллельны), следовательно, ВМ II DK.
Геометрическим местом точек Р на плоскости, для которых наклонные АР, опущенные на плоскость из точки А, образуют одинаковые углы, является окружность с центром в точке Н основания перпендикуляра АН, опущенного из этой точки на плоскость. В этом случае для любой точки Р тангенс угла наклона АР к плоскости есть величина постоянная и равна отношению АН/НР, где АН - высота точки А над плоскостью, а НР - радиус окружности с центром в точке Н. То же самое можно сказать и о геометрическом месте таких точек Р для точки В. Точка Р должна одновременно принадлежать и окружности с центром Н, и окружности с центром К, где К - основание перпендикуляра ВК. Следовательно, геометрическим местом точек P плоскости α , для которых прямые AP и BP образуют с плоскостью α равные углы, являются точки пересечения двух окружностей с центрами в точках Н и К, для радиусов которых выполняется условие: r/R = BK/AH. Только в этом случае углы наклона прямых ВК и АН к плоскости α будут равны, так как прямоугольные треугольники ВКР и АНР тогда будут подобны по двум катетам. Чтобы найти искомое геометрическое место, надо решить систему из двух уравнений окружностей: (X-Xb)²+(Y-Yb)²=r² (1) и (Х-Ха)²+(Y-Ya)²=R² (2). Решением и будут координаты искомых точек пересечения. Поместим начало координат в одну из точек: К или Н, например, в точку К. Тогда имеем К(0;0) Итак, дано: точки А(Хa;Ya) и В(0;Yb), их расстояние от плоскости α H(0;Ya ) и h(0;Yb), расстояние между точками Н(Ха;0) и К(0;0), равное сумме радиусов R(Xa-Xb) и r(Xb), то есть равное L(Xa) и, наконец, самое важное - коэффициент пропорциональности t, при котором только и будет все работать, равный отношению высот Н и h, а именно: t=Ya/Yb = R/r. Тогда R = r*t. Напишем уравнения (1) и (2), подставив в них известные нам значения: X²+Y²=r² (1) (X-L)²+Y² = r²*t² (2). Решаем методом подстановки. Y²=r²-X². Тогда (2) примет вид: X²-2LX+L²+r²-X² - r²*t² = 0, или 2LX=L²-r²*(t²-1), откуда Х = (L²-r²*(t²-1))/2L. Y = √{r² - [(L²-r²*(t²-1))/2L]². ответ: геометрическое место точек P(X;Y) плоскости α , для которых прямые AP и BP образуют с плоскостью α равные углы, имеет координаты Х = (L²-r²*(t²-1))/2L. Y = √{r² - [(L²-r²*(t²-1))/2L]². Построим эту кривую по точкам, когда, например, t=2, L=6 и, следовательно, начальное значение r = 2, так как при r<2 окружности общих точек не имеют. r =2, X=2, Y=0. r =3, X=0,75, Y=±2,9. r =4, X=-1, Y=±3,86. r =5, X=-3,25, Y=±3,8. r =6, X=-6, Y=0. r =7, X=-9,25, Y - значения не имеет (иррациональное число). Значит при r >L окружности общих точек не имеют, следовательно, наше геометрическое место точек P - замкнутая кривая при области определения L/(t+1)=<r<=L. Рисунок приложен.
a1=8 дм
b1=16 дм
c1=20 дм
P2=55 дм
a2, b2, c2 - ?
P1=8+16+20=44 дм
Коэффициент подобия 55/44= 1,25
a2=8*1,25=10 дм
b2=20*1.25=25 дм
с2=16*1,25=20 дм