В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон. В нашем случае Сумма боковых сторон равна 36+1=37см, значит боковая сторона = 18,5см (трапеция равнобокая). Проведем высоту из тупого угла трапеции. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований. Полуразность равна (36-1)/2=17,5см. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой (катет), боковой стороной трапеции (гипотенуза) и полуразность оснований (второй катет) по Пифагору находим высоту трапеции: h=√(18,5²-17,5²) = √(1*36) = 6см. Но высота трапеции равна диаметру вписанного круга. Значит его радиус равен 3. ответ: радиус равен 3см.
Рассмотрим треугольники АВК и СВР. Они равны по двум сторонам и общему углу В между ними. ⇒ ∠ ВАК =∠ ВСР. Т.к. АВ=ВС, и ВР=ВК, то равны и другие части этих сторон: АВ=СК. В треуголькиках АОР и СОК углы РОА и КОС равны как вертикальные, а ∠КСО=∠ВАО (из вышесказанного), следовательно, равны в них и ∠АРО и ∠СКО. В треугольниках АОР и СОК имеется по равной стороне (АР=СК) и по двум прилежащим к ним углам. ⇒эти треугольники равны, и в треугольнике АОС стороны АО=ОС. Треугольник, в котором две стороны равны, - равнобедренный, что и требовалось доказать.
