Вершины b и d треугольников abc и adcрасположены по одну сторону от прямой ac и равноудалены от нее. докажите,что отрезки каждой прямой,параллельной стороне ac,заключенные между двумя другими сторонами этих треугольников, равны
Равноудалены - находятся на одинаковом расстоянии от прямой. ⇒ bt и hd - равные высоты треугольников abc и adc. Прямая m, проведенная параллельно прямой ас, делит стороны треугольников abc и adc в одинаковом отношении. ае:bе=ck:kb=ao:od=cp:pd. Треугольник bek подобен abc, треугольник dop подобен adc Отрезки ek и op параллельны ас, их отношение к одной и той же стороне ek:ac=op:ac ⇒ ek=op
1рассмотрим треугольник aoc и треугольник bod: угол aoc = bod (как вертикальные) ao=ob и co=od (по условию,т.к. точка является o - посередине) значит, треугольник aoc = равен треугольнику bod (по двум сторонам и углу между ними) значит угол dao = равен углу cbo(в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы) 2 рассмотрим треугольник abd и треугольник adc: по условию, угол bda = углу adc сторона ad - общая и по условию угол bad = углу dac (т.к. ad - биссектриса) значит, треугольник abd = треугольнику adc(по двум углам и стороне между ними) значит сторона ab=ac(т.к. в равных треугольниках против равных углов лежат равны стороны)
Если на ребрах тетраэдра abcd отмечены точки v (на ребре ab), r (на ребре bd) и t (на ребре cd), а по условию нужно построить сечение тетраэдра плоскостью vrt, то постройте, прежде всего, прямую, по которой плоскость vrt будет пересекаться с плоскостью abc. в данном случае точка v будет общей для плоскостей vrt и abc. 2для того чтобы построить еще одну общую точку, продлите отрезки rt и bc до их пересечения в точке k (данная точка и будет второй общей точкой для плоскостей vrt и abc). из этого следует, что плоскости vrt и abc пересекаться будут по прямой vк. 3в свою очередь прямая vк пересечет ребро ас в точке l. таким образом, четырехугольник vrtl и является искомым сечением тетраэдра, построить которое нужно было по условию . 4обратите внимание на то, что, если прямые rt и bc параллельны, то прямая rt параллельна грани авс, поэтому плоскость vrt пересекает данную грань по прямой vк', которая параллельна прямой rt. а точка l будет точкой пересечения отрезка ас с прямой vк'. сечениететраэдра будет все тем же четырехугольником vrtl. 5допустим, известны следующие исходные данные: точка q находится на боковой грани adb тетраэдра abcd. требуется построить сечение этого тетраэдра, которое бы проходило через точку q и было бы параллельным основанию abc. 6ввиду того, что секущая плоскость параллельна основанию abc, она также будет параллельна прямым ав, вс и ас. а значит, секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра abcd по прямым, которые параллельны сторонам треугольника-основания авс. 7проведите из точки q прямую параллельно отрезку ав и обозначьте точки пересечения данной прямой с ребрами ad и bd буквами m и n. 8затем через точку m проведите прямую, которая бы проходила параллельно отрезку ас, и обозначьте точку пересечения данной прямой с ребром cd буквой s. треугольник mns и есть искомым сечением.
bt и hd - равные высоты треугольников abc и adc.
Прямая m, проведенная параллельно прямой ас, делит стороны треугольников abc и adc в одинаковом отношении. ае:bе=ck:kb=ao:od=cp:pd.
Треугольник bek подобен abc, треугольник dop подобен adc
Отрезки ek и op параллельны ас, их отношение к одной и той же стороне
ek:ac=op:ac ⇒ ek=op