Площадь равностороннего треугольника вычисляется по классической формуле площади треугольника — произведение половины основания треугольника на его высоту. Высоту мы подставим в эту формулу из формулы высоты равностороннего треугольника :
S = √3 /4*a^2
Соответственно S = 1.732/4*9^2= 35,074 кв. см.
Радиус вписанной окружности в треугольник вычисляется по формуле:
r=S/p
где S площадь,
p полуперимерт
Соответственно p= 9*3/2=13.5
r= 35,074/13,5=2,59 см
Радиус описанной окружности треугольника вычисляется по формуле
R = abc/4S
R= 9^3/4*35.074=729/140.3=5.196 см
Из треугольника АВС по теореме косинусов:
ВС² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cosA = 25 + 16 - 2 · 5 · 4 · 1/2
BC² = 41 - 20 = 21
BC = √21 см
Плоскости АВС и α параллельны, АВ лежит в плоскости АВС, значит АВ║α.
Параллельные прямые АА₁ и ВВ₁ задают плоскость. Назовем ее β.
Через прямую АВ, параллельную плоскости α, проходит плоскость β и пересекает плоскость α. Тогда линия пересечения плоскостей параллельна прямой АВ.
Итак, АВ║А₁В₁, АА₁║ВВ₁, значит АА₁В₁В - параллелограмм, значит АВ = А₁В₁.
Аналогично доказываем, что ВС = В₁С₁ и АС = А₁С₁.
Тогда ΔА₁В₁С₁ равен ΔАВС по трем сторонам. Значит
А₁В₁ = АВ = 5 см,
В₁С₁ = ВС = √21 см
А₁С₁ = АС = 4 см.
Соединим его противоположные вершины диагоналями АС и ВД.
Соединим середины соседних сторон попарно.
Получен четырехугольник КЛМН.
Его стороны являются средними линиями треугольников:
КЛ=НМ, так как параллельны и равны половине АС.
КН=ЛМ, так как параллельны и равны половине ВД.
Стороны четырехугольника КЛМН попарно равны и параллельны.
Этот четырехугольник - параллелограмм.
КМ и ЛН - его диагонали.
Диагонали параллелограмма пересекается и точкой пересечения делятся пополам. Что и требовалось доказать.