Подробно. Пусть даны катет АС и отрезок СК, равный сумме второго катета и гипотенузы. Нужно с циркуля и линейки построить прямоугольный треугольник АВС.
1)На произвольной прямой отмечаем точку С.
Из точки С возводим перпендикуляр. Для этого по обе стороны от С отмечаем точки 1 и 2 и из них, как из центра, проводим полуокружности по обе стороны от С. Точки пересечения соединяем.
На перпендикуляре откладываем длину данного катета, ставим точку А - это вторая вершина треугольника.
2) От С откладываем отрезок СК, равный сумме второго катета и гипотенузы.
Соединим К и А
3) Из А и К как из центров раствором циркуля больше половины АК проведем две полуокружности. Соединим точки их пересечения и продлим, если нужно, до пересечения с СК.
Обозначим это пересечение В, а пересечение с АК точкой М.
М - середина АК.
Соединим А и В.
Треугольник АВК - равнобедренный: АМ=МК по построению, МВ - высота и медиана.
АВ=КВ
В треугольнике АВС сумма длин сторон АВ и ВС равна СК. Следовательно, треугольник АВС - искомый.
В нем АС - заданный катет, АВ+ВС =СК, т.е. заданной сумме двух других сторон.
(Можно построение провести немного иначе: Провести в ∆ САК из середины АС параллельно СК прямую до пересечения с АК в точке М, которая разделит АК пополам, а затем провести к М перпендикуляр МВ, отметив по обе стороны от М центры 3 и 4 окружностей и далее как при возведении перпендикуляра СА).
НАЙТИ: S пол. пов. пирамиды ______________________________
РЕШЕНИЕ:
1) Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный лучами с вершиной на ребре, и при этом лучи лежат на гранях двугранного угла и перпендикулярны ребру.
В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник, то есть ∆ АВС – равносторонний
В ∆ АВС опустим высоту АН на ВС В равностороннем треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой → ВН = СН
отрезок SD ( высота пирамиды ) перпендикулярен плоскости основания ∆ АВС Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости → SD перпендикулярен АН АН перпендикулярен ВС Значит, SH перпендикулярен ВС по теореме о трёх перпендикулярах
Из этого следует, что угол SHА – линейный угол двугранного угла АВСS, то есть угол SHА = 45°
2) Рассмотрим ∆ SHD (угол SDH = 90°): Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна 90° угол HSD = 90° - 45° = 45°
Значит, ∆ SHD – прямоугольный и равнобедренный , SD = DH = h
По теореме Пифагора: SH² = SD² + DH² SH² = h² + h² = 2h² SH = h√2
Как было сказано выше, высота, проведённая в равностороннем треугольнике, является и медианой, и биссектрисой Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1 , считая от вершины Следовательно, AD : DH = 2 : 1 → AD = 2 × DH = 2h AH = AD + DH = 2h + h = 3h
Сторона равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
где а - сторона равностороннего треугольника, h - высота
BC = ( 2√3 × AH ) / 3 = ( 2√3 × 3h ) / 3 = 2√3h
S пол. пов. пирамиды = S осн. + S бок. пов.
В правильной треугольной пирамиде все боковые грани равны друг другу →
S пол. пов. пирамиды = S abc + 3 × S bcs
Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
В усеченный конус можно вписать шар тогда и только тогда, когда образующая равна сумме радиусов оснований l=R+r, радиус шара Rш=H/2. Площадь боковой поверхности ус.конуса Sбок=πl(R+r)=πl² 10π=πl² l=√10 - это образующая Площадь полной поверхности ус.конуса Sполн=Sбок+πR²+πr² 18π=10π+π(R²+r²) R²+r²=8 Получается система уравнений: R+r=√10 R²+r²=8 R=√10-r (√10-r)²+r²=8 10-2√10r+r²+r²=8 r²-√10r+1=0 D=10-4=6 r=(√10-√6)/2 R=(√10+√6)/2 Теперь можно найти высоту усеченного конуса Н по т.Пифагора из прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза l, 1 катет Н и 2 катет R-r=(√10+√6)/2-(√10-√6)/2=√6. Н²=l²-(R-r)²=√10²-√6²=4 H=2 Площадь поверхности шара Sш=4πRш²=4πН²/4=πН²=4π Разница Sполн-Sш=18π-4π=14π
Пусть даны катет АС и отрезок СК, равный сумме второго катета и гипотенузы. Нужно с циркуля и линейки построить прямоугольный треугольник АВС.
1)На произвольной прямой отмечаем точку С.
Из точки С возводим перпендикуляр. Для этого по обе стороны от С отмечаем точки 1 и 2 и из них, как из центра, проводим полуокружности по обе стороны от С. Точки пересечения соединяем.
На перпендикуляре откладываем длину данного катета, ставим точку А - это вторая вершина треугольника.
2) От С откладываем отрезок СК, равный сумме второго катета и гипотенузы.
Соединим К и А
3) Из А и К как из центров раствором циркуля больше половины АК проведем две полуокружности. Соединим точки их пересечения и продлим, если нужно, до пересечения с СК.
Обозначим это пересечение В, а пересечение с АК точкой М.
М - середина АК.
Соединим А и В.
Треугольник АВК - равнобедренный: АМ=МК по построению, МВ - высота и медиана.
АВ=КВ
В треугольнике АВС сумма длин сторон АВ и ВС равна СК. Следовательно, треугольник АВС - искомый.
В нем АС - заданный катет, АВ+ВС =СК, т.е. заданной сумме двух других сторон.
(Можно построение провести немного иначе: Провести в ∆ САК из середины АС параллельно СК прямую до пересечения с АК в точке М, которая разделит АК пополам, а затем провести к М перпендикуляр МВ, отметив по обе стороны от М центры 3 и 4 окружностей и далее как при возведении перпендикуляра СА).