Разместим квадрат ABCD в координатной плоскости, совместив вершину А с началом координат. Если сторона квадрата равна 4, то координаты точек: A(0 ; 0), B(0 ; 4), C(4 ; 4), D(4 ; 0), P(0 ; 2) т.к. Р - середина АВ. Для нахождения координат точек M и N, составим уравнения прямых AC, BD, PD и PC и найдем координаты их точек пересечения.
АС: y = x BD: y = - x + 4 PD: y = - x/2 + 2 PC: y = x/2 + 2 M = AC∩PD: приравниваем правые части соответствующих уравнений x = - x/2 + 2 3x/2 = 2 x =4/3 y = 4/3 М(4/3 ; 4.3) N = BD∩PC: - x + 4 = x/2 + 2 3x/2 = 2 x = 4/3 y = - 4/3 + 4 = 8/3 N(4/3 ; 8/3) Так как координаты х этих точек одинаковы, то MN║AB. Длина отрезка MN = 8/3 - 4/3 = 4/3 PS - средняя линия ΔABD, следовательно PS║AD, PS = AD/2 = 2 Значит, MN⊥PS.
Пусть в треугольнике ABC AK 0 10, а BM = 12.Обозначим AM = x, тогда из треугольника ABM по теореме Пифагора AB = корень из (x² + 100).С одной стороны площадб треугольника ABC равна 1/2 AC * BM, а с другой стороны она равна 1/2 BC * AK. Приравняем эти равенства: 1/2 AC * BM = 1/2 BC * AK Сократим на 1/2 получим корень из (x² + 100) * 12 = 20x корень из (x² + 100) *3 = 5x 9x² + 900 - 25x² = 0; x² = 56,25; x = 7,5 тогда AC = 7,5 * 2 = 15 AB = BC = корень из 56,25 + 100 = корень из 156,25 AB = BC = 7,5. S = 1/2 AC * BM = 1/2 * 15 * 10 = 75
A(0 ; 0), B(0 ; 4), C(4 ; 4), D(4 ; 0), P(0 ; 2) т.к. Р - середина АВ.
Для нахождения координат точек M и N, составим уравнения прямых AC, BD, PD и PC и найдем координаты их точек пересечения.
АС: y = x BD: y = - x + 4 PD: y = - x/2 + 2 PC: y = x/2 + 2
M = AC∩PD: приравниваем правые части соответствующих уравнений
x = - x/2 + 2
3x/2 = 2
x =4/3 y = 4/3
М(4/3 ; 4.3)
N = BD∩PC: - x + 4 = x/2 + 2
3x/2 = 2
x = 4/3 y = - 4/3 + 4 = 8/3
N(4/3 ; 8/3)
Так как координаты х этих точек одинаковы, то MN║AB.
Длина отрезка MN = 8/3 - 4/3 = 4/3
PS - средняя линия ΔABD, следовательно PS║AD, PS = AD/2 = 2
Значит, MN⊥PS.
Spmsn = PS · MN/2 = (2 · 4/3)/2 = 4/3