1) Т.к. cosB=√3/2, зн. B=30° (по таблице косинусов) 2) Т.к. ∆АВС - р/б и АВ=АС=6, зн. В=С=30° 3) А+В+С=180°, зн. А=180°-(В+С); А=180°-(30°+30°)= 180°-60°=120° 4) Проведём из вершины А высоту АН. Вспоминаем свойство: в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. Поэтому 5) Рассмотрим ∆АСН. Н - прямой и равен 90°. САН = 120°÷2= 60°. Т.к. ∆АСН - прямоугольный, то по свойству: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. АС - гипотенуза и равна 6, значит АН - катет и равен 6÷2=3 6) По теореме Пифагора AC²=AH²+CH²; 6²=3²+CH²; CH²=6²-3²; CH²=36-9=25; CH=√25=5; СН=НВ=5; СВ=СН+НВ; СВ=5+5=10; 7) S∆= 1/2аh, зн. S∆ABC= 1/2×3×10= 3/2×10=15. ответ: S∆ABC = 15.
Теорема: Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника. Доказательство: Действительно, вписанная в треугольник ABC окружность с центром в точке O касается всех сторон треугольника по определению вписанной окружности. Это значит, что точка O удалена от сторон треугольника ABC на расстояние, равное радиусу вписанной окружности, то есть точка O равноудалена от сторон треугольника ABC. Следовательно, точка O равноудалена от сторон AB и AC, то есть лежит на биссектрисе угла A. Аналогично точка O лежит на биссектрисе углов B и C. Теорема доказана. Мы знаем, что центр окружности равноудален от всех точек окружности (по определению) в том числе и от точек касание сторон треугольника. Также мы знаем, что каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла. А точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от каждой стороны, т. к. равноудалена от трех пар сторон для кадой биссектрисы. Таким образом, в треугольнике есть только одна точка равноудаленная от всех сторон - это пересечение биссектрис треугольника. Поэтому центр лежит именно в этой точке.
