Треугольники АВС и ADC лежат в разных плоскостях, АВ=ВС=AD=CD=4 см, АС=6 см .BD=√21 см. Найдите угол между плоскостями АВС и ADC.
Объяснение:
1 ) Пусть ВН⊥АС .Тогда ВН-медиана ,тк ΔАВС-равнобедренный , и АН=НС = 3 см.
ΔВСН-прямоугольный , по т Пифагора ВН=√(СН²- ВС²)=√(16-9)=√7 (см).
2)Отрезок DH-медиана для ΔАDC, тк Н-середина АС.Тогда для ΔCDH по т. Пифагора DH=√7 см.
Медиана DH для ΔСDH является высотой по свойству медианы равнобедренного треугольника.
3)Тк.DH⊥AC,BH⊥AC , то ∠ВНD- линейный угол двугранного угла между плоскостями АВС и ADC.
По т. косинусов DB²=DH²+BH²-2*DH*BH*cos (∠BHD),
(√21)²= 2*(√7)²-2*√7*√7 *cos (∠BHD),
21=14-14*cos (∠BHD) , -14cos (∠BHD)=7 , cos (∠BHD)= - 1/2.
∠BHD=120° .
S полн = 72 см².
Объяснение:
Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех его граней. В прямоугольном параллелепипеде все грани - прямоугольники, причем противоположные грани равны. Найдем по Пифагору диагональ основания.
АС = √(AD² + DC²) = √(6² + 3²) = √45 см. Тогда высота параллелепипеда по Пифагору:
СС1 = √(AС1² + АC²) = √(49 + 45) = 2 см.
Sabcd = 6·3 = 18 см². Sdd1c1c = 3·2 = 6см². Saa1d1d = 6·2 = 12см².
тогда Sполн = 2·Sabcd + 2·Sdd1с1с +2·Saa1d1d или
Sполн = 2·18 + 2·6 +2·12 = 36 + 12 +24 = 72 см².
-----------
Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, нужно провести прямую, параллельную одной из двух скрещивающихся прямых так, чтобы она пересекала вторую прямую. При этом получатся прямые, которые пересекутся под искомым углом, т.е. угол между ними будет равен углу между исходными скрещивающимися.
Прямая, параллельная ВС, в параллелепипеде уже есть. Это ребро АД. Оно пересекает АС₁ и образует с ним угол ДАС₁, который равен искомому.
Синус этого угла равен отношению ДС₁:АС₁
ДС₁- диагональ прямоугольника СДД1С₁ и является гипотенузой прямоугольного треугольника ДСС₁
По т. Пифагора ДС1=√(СД²+ДС₁²)=√(1+2)=√3
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
АС₁²=АВ²+ВС²+АА₁²=1+9+2=12
АС₁=2√3
sin ∠ДАС₁= ДС₁:АС₁=(√3):2√3=1/2. Это синус угла, равного 30°
ответ: Искомый угол равен 30°