Question

Четырёхугольник abcd со сторонами ab=3 и cd=5 вписан в окружность. диагонали ac и bd пересекаются в точке k, причём угол akb=60. найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Answer 1

AB =3 ; CD =5 ;<AKB =60°.

R ==>?
<AKB =<KDA +<KAD (внешний  угол ΔAKD ) ;
 <AKB = <BDA+<CAD  ;
обозначаем (удобно) <BDA =α ;<CAD =60° -α ;
AB =2R*sinα ;
CD =2R*sin(60° -α)  .

 {5 =2R*sin(60° -α) ;3 =2R*sinα .   * * * *  *  R = 3/2sinα * * * * *
5/3 =sin(60° -α)/sinα ;
***sin(60° -α) =sin60°cosα -cos60°sinα =(√3cosα -sinα)/2 =sinα(√3ctqα-1)/2 ***
***sin(60° -α)/sinα =(√3ctqα-1)/2  
5/3 =(√3ctqα-1)/2  ⇒ctqα =13/3√3;
sinα =1/√(1+ctq²α) = 3√3/14
sinα =1/√(1+ctq²α) = 3√3/14;
 R = 32/sinα ⇒7/√3.   (вычисление нужно проверить)
ответ :  7/√3.