Question

Вравнобедренном треугольнике abc (ab=bc) средняя линия, параллельная стороне bc, пересекается со вписанной окружностью в точке f, не лежащей на основании ac. докажите, что касательная к окружности в точке f пересекается с биссектрисой угла с на стороне ав.

Answer 1

Пусть вписанная в треугольник ABC окружность с центром О касается сторон AB, BC, AC в точках N, K, M соответственно, а касательная в точке F пересекает AB и BC в точках R и T соответственно. Тогда, очевидно, MFTC - равнобочная трапеция (MF||TC, ∠FMC=90°+∠FMO, ∠MFT=90°+∠MFO, причем ∠FMO=∠MFO, поэтому ∠MFT=∠FMC). Значит, TK=FT=MC=KC=AM=AN (из свойств отрезков касательной, равнобочности трапеции MFTC и равнобедренности треугольника ABC). Кроме того, NR=RF. Итак, AC=TC, AR=RT, т.е. треугольники ACR и TCR равны, откуда CR - биссектриса ∠ACB.  Т.к. биссектриса единственна, то все доказано.