Радиус вписанной в треугольник окружности вычисляют по формуле:
r= √(р-а)(р-b)(р-с):р
Необходимо найти а, b, c
DA1=DC1=А1С1, так как Δ DA1C1 образован диагоналями равных граней куба, и потому является равносторонним.
Для нахождения радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, есть отдельная формула, которая вытекает из данной выше:
r=а:2√3
В данной формуле а - диагональ грани данного куба.
Каждая грань куба - квадрат. Диагональ квадрата
d=a√2
Подставим значение диагонали в формулу радиуса
r=(a√2):2√3 =4√2:2√3 =2√2:√3
r= (2√2·√3):√3·√3=(2√3*√2):3=⅓·2√6 см
r=⅓·2√6 см
условно примем что грань куба = а
далее по теореме Пифагора
тогда диагональ грани куба будет равна корень из (а в квадрате + а в квадрате)
тогда диаганаль куба будет равна = корень из а в квдрате + корень из (а в квадрате + а в квадрате)=6
далее урощаем выражение корень из (а в квадрате + а в квадрате), = корень из (2* на а в квадрате)
далее выносим двойку из под квадрата, извлекаем корень из 2 = 1.14, извлекаем корень из а в квадрате
получается 1,41*а
диаганаль куба =а+1.41а=2.41а=6
находим а = 6/2.41 = 2,489 это длинна нашей грани куба
диаганаль грани куба = корень из (2,489*2,489+ 2,489*2,489)=корень из 12,39=3,519
далее находим косинус: берем угол между нижней гранью и диаганалью куба
косинус =3,519/6=0,586
ответ: 420