Question

110 ! как никогда нужно решить (хотя-бы 2 из 3): 1)в прямоугольном параллелепипеде стороны основания 12см и 5см.диагональ параллелепипеда образует с плоскостью угол 45 градусов.найти боковую поверхность параллулепипеда. 2)в правильной четырехугольной пирамиде боковые ребра наклонены к основанию под углом 60 градусов, длина бокового ребра 10см.найти объем пирамиды. 3)в правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно b, а плоский угол при вершине-β , найти полную поверхность пирамиды. не подведите!

Answer 1

Давай. Первая.
1) В1Д - диагональ, диагональ образует с плоскостью основания угол в 45. Значит образует прямоугольный треугольник В1ВД, угол В1ДВ=45=ДВ1В, следовательно В1В=ВД. АВ=СД=5см, АД=ВС=12см, берем треугольник ВАД, где угол ВАД=90, т.к. параллелепипед прямоугольный, по т. Пифагора найдем ВД, ВД²= АВ²+АД², ВД= 13см.
2) так как ВД=13, но оно же равно и В1В, значит В1В=13
3) Sбок.=  Pосн. * h=  (12+12+5+5)* 13=442 см²
вторая. 
1) Ребра наклонены к основанию, образуют треугольники ( пусть точка О пересечение диагоналей основания , S - вершина)  SOA, SOB, SOC, SOD. Где эти треугольники равны , и углы SAO= SBO== 60, следовательно углы ASO==30, ( сумма острых углов в прямоугольном треугольнике = 90) .
2) Пирамида правильная значит при основании лежит квадрат.Берем треугольник  SOA, SOB, SOC, SOD против угла в 30 лежит катет равный половине гипотенузы , значит ОА=ОВ=ОС=ОД= 5 см. значит диагонали квадрата АС=ВД= 10см.
Обозначим стороны за Х , по т. Пифагора найдем стороны квадрата , берем треугольник ВАД или ВСД, где углы А=В=С=Д = 90, х²+х²=10²
2х²=100
х²= 50 
х= 5√2см, V пир. = 1/3 Sосн. * h= 1/3 х ² * h= (h= 5√3)= 250√3 / 3 см³

Answer 2

1) если параллелепипед прямоугольный, значит любая его сторона - прямоугольник. Если диагональ образует с основанием угол 45 градусов, то получаем прямоугольный треугольник, в котором один катет это диагональ основания, а  второй катет это высота вертикальной грани. Тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему (в нашем случае вертикальная сторона, делённая на горизонтальную) и тангенс 45 градусов равен 1 (единице). Значит длина вертикали равна длине горизонтали. Длину горизонтальной диагонали находим по теореме Пифагора. c^2=a^2+b^2; c^2=25+144; c^2=169; c=13 см. Значит высота вертикальной стороны параллелепипеда тоже равна 13 см. Отсюда площадь боковой поверхности равна периметру основания, умноженному на высоту. S=(a+b)*2*c; S=(5+12)*2*13; S=442 см^2.

2)Объём пирамида равен V=1/3Sh, где S - площадь основания, а h - высота. Нам известна длина ребра d=10 см и угол наклона ребра 60 градусов. Высота будет равна h=d*sin(60); h=(10/2)*SQRT(3); h=5SQRT(3);

Треуогльник, в котором наклонное ребро d - гипотенуза, высота h - катет и половина диагонали основания k - второй катет - прямоугольный. Значит k =d*cos(60); k=5 см. Так как призма правильная, значит основание - квадрат. У него диагональ равна 2k=10 см. Значит сторона равна a; Из теоремы Пифагора получаем 10^2= 2a^2; a=10/SQRT(2);

Теперь находим площадь основания S=a*a; S=100/2; S=50 см^2;

И наконец объём пирамиды V=(1/3)S*h; V=(1/3)*50*5*SQRT(3); V=250/SQRT(3); V=144,34 см^3 (округлённо)