Осевое сечение АВС конуса есть равнобедренный треугольник с углом при вершине С равным 1200. Высота ОС конуса, есть высота, биссектриса и медиана треугольника АВС, тогда угол АСО = АСВ / 2 = 120 / 2 = 600.
В прямоугольном треугольнике АОС, через угол и катет определим длину гипотенузы и второго катета.
Cos60 = ОС / АС.
АС = ОС / Cos60 = 12 / (1 / 2) = 24 см
tg60 = AO / OC.
AO = OC * tg60 = 12 * √3 см.
Определим площадь основания конуса.
Sосн = п * R2 = п * 432 см2.
Определим площадь боковой поверхности конуса.
Sбок = п * R * L = п * АО * АС = п * 12 * √3 * 24 = п * 288 * √3 см2.
Тогда Sпов = Sосн + Sбок = п * 432 + п * 288 * √3 = 144 * (3 + 2 * √3) см2.
ответ: Площадь поверхности конуса равна 144 * (3 + 2 * √3) см2.
См. Объяснение
Объяснение:
Все доказательства основываются на равенстве углов, которые образуются при пересечении двух прямых линий третьей.
На рис. 1 проведены две прямые линии - а и в; их пересекает наклонная прямая линия с, которая называется секущей.
В результате такого пересечения образовалось 8 углов, которые надо рассматривать парами. Причем, всё равно, в какой последовательности.
Давай начнём с пары углов, которые образовались при пересечении линии а (она находится наверху) и секущей с. Любая линия - это развёрнутый угол, который всегда равен 180 градусам. Это значит, что если один из смежных углов (то есть лежащих на одной линии) равен 60°, то смежный с ним угол, обозначенный номером 1, равен:
180 - 60 = 120°.
Рассмотрим вторую пару - угол 60 ° и угол, обозначенный номером 2. Эти углы называются вертикальными - они образованы пересечением двух прямых и лежат друг против друга. Вертикальные углы равны.
Это значит, что угол 2 равен 60°.
Чему равен угол 3? Его можно рассчитать по-разному:
- можно рассматривать как смежный с углом 60° и тогда он равен:
∠3 = 180° - 60° = 120°;
- можно рассматривать как вертикальный с углом 1 - и тогда он равен углу 1:
∠3 = ∠1 = 120°;
- можно рассматривать как смежный с углом 2 - и тогда он равен:
∠3 = 180° - ∠2 = 180° - 60° = 120°.
Но как бы мы его ни считали, - ответ всегда будет одним и тем же.
Теперь рассчитаем угол 4, образованный при пересечении линии в и секущей с:
∠ 4 = 180° - 120° = 60°.
Все другие углы, образованные при пересечении линии в и секущей с, можно не считать, так как они не обозначены. А нам полученных значений углов достаточно для того, чтобы сказать, что прямые а и в параллельны, то есть не пересекаются.
Необходимо запомнить названия пар углов, которые образуются при пересечении параллельных прямых секущей, а также свойства этих углов.
Если секущая пересекает две параллельные прямые линии, то:
внутренние накрест лежащие углы равны;
внутренних накрест лежащих углов всегда две пары; на рисунке 1 - это углы 2 и 4 (∠2 = ∠4), а также угол 3 и угол 120° (∠3 = ∠120°);
сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
внутренних односторонних углов всегда две пары: на рисунке 1 - это углы 3 и 4 (∠3+∠4 =180°), а также углы 2 и 120° (∠2 + ∠120° = 180° ;
соответственные углы равны;
соответственных углов больше всего - их 4 пары; на рисунке 1 - это угол 1 и угол 120° (∠1 = ∠120°); угол 2 и тот угол, который ниже угла 120°, смежный с ним; угол 60° и угол 4 (∠60° = ∠4); угол 3 и угол, который ниже угла 4 (смежный с углом 4);
внешние накрест лежащие углы равны;
таких углов 2 пары; на рисунке 1 - это углы 2 и 4 (∠2 = ∠4), а также угол 3 и угол 120 ° (∠3 = ∠120°);
сумма внешних односторонних углов равна 180°;
таких углов 2 пары; на рисунке 1 - это угол 1 и тот, который слева внизу, смежный с углом 120° ; а вторая пара - это угол 60°, а также тот, который справа внизу, смежный с углом 4.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.
Рис. 1
∠2 = ∠60° - как углы вертикальные.
∠2 + ∠120° = 180°.
Так как ∠2 и ∠120°, образованные при пересечении прямых а и в секущей с, являются внутренними односторонними углами, и их сумма равна 180°, то это означает, что а║в, что и требовалось доказать.
Рис. 2
На данном рисунке внешние накрест лежащие углы, образованные при пересечении прямых а и с секущей в, равны между собой (конкретно - равны 40 °).
Это означает, что а║с, что и требовалось доказать.
Рис. 3
1) По отношению к прямым а и в прямая m является секущей.
Так как внутренние накрест лежащие углы 1 и 2, образованные при пересечении прямых а и в секущей m, равны между собой (∠1 = ∠2), то это означает, что а║в, что и требовалось доказать.
2) По отношению к прямым m и n прямая a является секущей.
Так как соответственные углы 1 и 3, образованные при пересечении прямых m и n секущей a, равны между собой (∠1 = ∠3), то это означает, что m║n, что и требовалось доказать.
Если из центра окружности (который лежит на гипотенузе) опустить перпендикуляры на катеты, то получится квадрат и два треугольника, подобных исходному. Если обозначить радиус окружности r, больший катет большего треугольника b, меньший катет меньшего треугольника a,
то стороны исходного треугольника будут такие
(a + r, b + r, 35)
стороны меньшего треугольника
(a, r, 15)
стороны большего
(r, b, 20)
и все эти три треугольника подобны между собой.
отсюда a/r = 15/20 = 3/4;
то есть все эти три треугольника - египетские (подобные треугольнику со сторонами 3, 4, 5)
То есть уже можно написать ответ :) вычислять уже ничего не надо, надо просто "подобрать" коэффициенты подобия, чтобы гипотенузы египетских треугольников были бы 15 и 20. Само собой, это 3 и 4.
То есть a = 9, r = 12, b = 16; (получились треугольники 9, 12, 15 и 12, 16, 20)
Исходный треугольник имеет стороны 21, 28, 35, его площадь 294;
длина полуокружности πr = 12π;
Весь "трюк" в том, что r - одновременно больший катет в одном из подобных треугольников и меньший - в другом.