предыдущее решение полностью соответствует, я просто хочу показать геометрически понятное решение.
Треугольник надо достроить до параллелограмма, тогда третья сторона и удвоенная медиана - его диагонали. Поэтому половина третьей стороны - это медиана в треугольнике со сторонами (23, 11, 20), проведенная к стороне 20 :).
Теперь можно воспользоваться формулой для медианы, но если не охота запоминать много формул - можно просто воспользоваться дважды теоремой косинусов (именно так и выводится эта формула)- для треугольника (23, 11, 20) и треугольника (23, с/2, 10), где с - третья сторона исходного треугольника (а с/2 - медиана в треугольнике (23, 11, 20), делящая сторону 20 пополам).
Если обозначить за Ф - угол между стороной 23 и медианой 10 исходного треугольника, то
11^2 = 23^2 + 20^2 - 2*20*23*cos(Ф);
(c/2)^2 = 23^2 + 10^2 - 2*10*23*cos(Ф);
Умножаем на 2 второе уравнение и вычитаем первое
2*(с/2)^2 - 11^2 = 23^2 + 2*10^2 - 20^2;
с^2/2 = 11^2 + 23^2 + 2*10^2 - 20^2 = 450;
c = 30;
R=25
2) ВН-высота треуг., О-центр окружности, ВО-радиус
расм. ΔАОН: АО=25
ОН=х
АН=625-х²
расм.ΔАВН: АВ=40, ВН=25+х
АН=1600-(25+х)²
625-х²=1600-(25+х)²
решаем урав.
х=7
3) ВН=32, АС=48
S=32*48/2=768
ответ:768