Давай с чертежом разберёмся. Цент вписанной в треугольник окружности - это пересечение биссектрис, а центр описанной окружности - это середина гипотенузы ( 90 градусов - это вписанный угол и измеряется половиной дуги, на которую опирается, значит опирается на диаметр окружности) теперь разбираемся с отношением r:R = 4:13 4:13 - это части, которые приходятся на r и R . Одну часть примем за х, тогда r = 4x и R = 13x. Тогда гипотенуза = 26 х Теперь считаем, что у нас есть 3 данных: r, R и гипотенуза АС ( АС - диаметр описанной окружности) Теперь разбираемся с точками касания вписанной окружности и треугольника. Давай с буквами разберёмся.ΔАВС, АС - гипотенуза, АВ и ВС - катеты.На АВ точка касания М, на ВС точка касания N, на АС точка касания К. Рассматриваем отрезки касательных. ВМ = ВN = r = 4x , АМ = АК = y, NС = КС = 26x - y теперь выразим катеты: АВ = 4х + у, ВС = 4х + 26х - у = 30х - у. Теперь пишем т. Пифагора: (4х + у)² + ( 30х - у)² = (26у)² Упрощаем у² - 26 у + 120 х² = 0 Решаем относительно у у = 13х +-√(169х² - 120х²) = 13х +-7х у1 = 20 х у2 = 6х а) у1 = 20х АВ = 4х + у = 24х ВС = 30х - у = 10х Теперь ищем отношение катетов: ВС:АВ= 10х : 24х = 5:12 б) у2 = 6х АВ = 4х + у = 10х ВС = 30х -у = 24х Ищем отношение катетов: АВ:ВС=10х : 24Х = 5:12
В тр-ке АВС АС=40 см, ВМ=15 см К, Р и М - точки касания сторон АВ, ВС и АС соответственно. В тр-ке АВМ АМ=АС/2=20 см. по т. Пифагора АВ²=АМ²+ВМ²=20²+15²=625, АВ=25 см. В тр-ке АВМ по теореме косинусов: cosА=(АВ²+АМ²-ВМ²)/(2·АВ·АМ)=(25²+20²-15²)/(2·25·20)=0.8 В тр-ке АКМ по т. косинусов: КМ²=АК²+АМ²-2·АК·АМ·cosA=20²+20²-2·20·20·0.8=160, КМ=РМ=√160=4√10 см - это ответ. В тр-ке АВС: соsВ=(АВ²+ВС²-АС²)/(2·АВ·ВС)=(25²+25²-40²)/(2·25²)=-7/25, В тр-ке ВКР ВК=ВР=АВ-АК=АВ-АМ=25-20=5 см (АМ=АК так как они касательные из одной точки). КР²=ВК²+ВР²-2·ВК·ВР·cosВ=5²+5²-2·5²·(-7/25)=64, КР=8 см - это ответ.
Высота равнобедренного треугольника является и его медианой. Тогда по Пифагору боковая сторона нашего треугольника равна √(15²+20²)=25см. Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно d=(a+b-c)/2 = p-c, где р - полупериметр, с - сторона, лежащая против вершины С. Полупериметр нашего треугольника равен 45см. Тогда расстояние от вершины В до точек касания ВК=ВР=45-40=5см. Треугольник КВР подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия 5/25=1/5. Тогда расстояние КР=40*(1/5)=8см. Это ответ. Опустим из точки Р перпендикуляр РQ на сторону АС. Треугольник QРС подобен треугольнику МВС с коэффициентом подобия 20/25=4/5. Тогда РQ=15*4/5=12см, QC=20*4/5=16см, а МQ=20-16=4см. По Пифагору из треугольника QMP расстояние МР=МК=√(РQ²+МQ²)=√(12²+4²)=4√10см. Это ответ.
теперь разбираемся с отношением r:R = 4:13
4:13 - это части, которые приходятся на r и R . Одну часть примем за х, тогда r = 4x и R = 13x. Тогда гипотенуза = 26 х
Теперь считаем, что у нас есть 3 данных: r, R и гипотенуза АС ( АС - диаметр описанной окружности)
Теперь разбираемся с точками касания вписанной окружности и треугольника. Давай с буквами разберёмся.ΔАВС, АС - гипотенуза, АВ и ВС - катеты.На АВ точка касания М, на ВС точка касания N, на АС точка касания К. Рассматриваем отрезки касательных. ВМ = ВN = r = 4x , АМ = АК = y,
NС = КС = 26x - y
теперь выразим катеты: АВ = 4х + у, ВС = 4х + 26х - у = 30х - у.
Теперь пишем т. Пифагора:
(4х + у)² + ( 30х - у)² = (26у)²
Упрощаем
у² - 26 у + 120 х² = 0
Решаем относительно у
у = 13х +-√(169х² - 120х²) = 13х +-7х
у1 = 20 х у2 = 6х
а) у1 = 20х
АВ = 4х + у = 24х
ВС = 30х - у = 10х
Теперь ищем отношение катетов: ВС:АВ= 10х : 24х = 5:12
б) у2 = 6х
АВ = 4х + у = 10х
ВС = 30х -у = 24х
Ищем отношение катетов: АВ:ВС=10х : 24Х = 5:12