Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна 5, а площадь круга, описанного около основания пирамиды равна 12pi. найдите радиус шара, вписанного в эту пирамиду.
Пирамида SАВСДЕF c вершиной S, в основании - правильный шестиугольник АВСДЕF. Высота пирамиды SH, апофема (высота боковой грани АSВ) пирамиды SK=5. Т.к. площадь круга S=πR², то радиус описанной окружности правильного шестиугольника R=АН=ВН=√S/π=√12π/π=2√3, значит и сторона шестиугольника АВ= R=2√3. Радиус вписанной окружности в шестиугольник r=КН=АВ*√3/2=2√3*√3/2=3 Из прямоугольного ΔSKH найдем SH: SH²=SK²-KH²= 25-9=16. SH=4 Центр шара О, вписанного в пирамиду, лежит на высоте SH, а точка Р касания шара и боковой грани ASB лежит на апофеме SК. Радиус шара РО=ОН. Прямоугольные ΔSOP (<SPO=<SKH=90°) подобен ΔSКН по острому углу (<S-общий). SO/SК=PO/KH SO=SH-OH=SH-PO=4-PO (4-PO)/5=PO/3 12-3PO=5PO PO=12/8=3/2=1,5
У равнобедренного треугольника медиана к основанию будет и высотой и биссектрисой. Так как треугольник еще и равнобедренный, то углы при основании = 45 градусов, тогда: 1. Медиана = высота образует 2 равнобедренных прямоугольных треугольника. 2 стороны при основании равны и = 4 => основание исходного треугольника = 8 см. А стороны при основании = см 2. Аналогично первому случаю имеем основание 6 см, а стороны при основании 3. диагональ прямоугольника образует 2 прямоугольных треугольника и является их гипотенузой. Катеты - стороны. По теореме Пифагора получаем см. 4. Трапеция равнобокая. Высота отсечет от нее прямоугольный треугольник с гипотенузой - боковой стороной = 5см и вторым катетом = (14-8)/2=3 см. Тогда высота трапеции = см.
Треугольник PQW не обязательно прямоугольный. По т. синусов для него получаем PW=2R·sin∠Q=20·sin∠Q, а по т. косинусов для него же 20²·sin²∠Q=16²+12²-2·16·12·cos∠Q. Решаем это уравнение, получаем cos∠Q=0 и cos∠Q=24/25. Т.е. в первом случае PQW - действительно прямоугольный (см. рис. 1), а второй случай также существует при выпуклом ABCD (см. рис. 2.)
Т.к. AB/PB=CB/QB=5/4, то треугольник ABC подобен треугольнику PBQ с коэффициентом подобия 5/4, откуда AC=(5/4)·PQ=5*16/4=20 и AC||PQ. Аналогично, треугольник BCD подобен треугольнику QCW с коэффициентом 5, т.е. BD=5QW=5*12=60 и BD||QW, откуда угол между диагоналями ABCD равен углу PQW. Площадь ABCD вычисляется по формуле (1/2)AC·BD·sin(∠PQW). Значит, в случае, когда PQW - прямоугольный S(ABCD)=(1/2)·20·60·sin(90°)=600. Во втором случае S(ABCD)=(1/2)·20·60·√(1-24²/25²)=168.
см
см.
см.
Найдем R из соотношения S=12π=πR^2, R=√12=3,46.
a=3,46 - 3,46(1 - √3/2)=3,46(1 - 0,134)=3, 2a=6. Площадь этого Δ :
s=a*h, h^2=L^2 - a^2, s=a*√(25 -9=12. Радиус шара, вписанного в пирамиду
равен радиусу вписанной в Δ окружности r = s/p = 12/8= 1,5.