Question

Вравнобедренном треугольнике авс (ав=вс=3,ас=5) проведены высоты аа1 и сс1.найти стороны треугольника а1вс1

Answer 1

Полупериметр р=(2*3+5)/2=5,5
Площадь ΔАВС по ф.Герона
Sавс=√(5.5*2.5*2.5*0.5=1.25√11
Также Sавс=АА₁*ВС/2=СС₁*АВ/2
АА₁=СС₁=2Sавс/ВС=2*1,25√11/3=2,5√11/3
Из прямоугольного ΔАВА₁:
ВА₁²=АВ²-АА₁²=9-68,75/9=12,25/9
ВА₁=3,5/3=7/6
ВС₁=3,5/3=7/6
Т.к. А₁С₁ отсекает пропорциональные между собой отрезки на прямых АВ и ВС, значит А₁С₁ параллельна АС (т.Фалеса) 
Тогда ΔА₁ВС₁ и ΔАВС подобны по 3 углам:
АВ/ВС₁=АС/А₁С₁
3*6/7=5/А₁С₁
А₁С₁=5*7/18=35/18
ответ: 7/6 , 7/6 и 35/18

Answer 2

Угол β при вершине В найдем из sinβ/2=AC/2BC=5/6. Из подобия ΔB1BC и 
ΔA1AC следует: A1C/A1A=B1C/B1B=(5/2)/(√11/2)=1,5 коэффициент подобия.
A1A=C1C=B1B*1,5=1,66*1,5=2,5. A1B=C1B=(AB^2 - A1A^2)^(1/2)=1,66,
третья сторона ΔА1ВС1, т.е.ее половина  А1С1/2=А1Вsinβ/2=1,66*5/6=1,38.
В результате имеем три стороны заданного треугольника А1В=С1В=1,66 и
А1С1=2,77. (Расчеты с иррациональными числами представлены приближенно.)