Question

Окружности s1 и s2 с центрами в точках о1 и о2 и радиусами 5 и 12 соответственно пересекаются в точках а и в. прямая о2в является касательной к окружности s1. прямая о1а вторично пересекает окружность s1 в точке c. прямая о2а вторично пересекает окружность s2 в точке d. касательная к окружности s2 в точке d и прямая о1о2 пересекаются в точке е. найдите площадь четырёхугольника edco1.

Answer 1

  Угол $\angle O_{1}BO_{2} = 90а$ , откуда    $O_{1}O_{2} = \sqrt{12^2+5^2}=13$ , $O_{1}A=5 , \ \ \ O_{2}A=12$ 
Значит угол $\angle CAD = \ \angle O_{1}BO _{2} = 90а \\$          
$AO_{2} = O_{2}D\\ \angle AO_{2}O_{1} = DO_{2}E \\ \angle O_{2}E D = \angle AO_{1}O_{2}$   
Из подобия треугольников $\Delta AO_{1}O_{2} , \Delta O_{2}DE$ 
$\frac{ED}{5}=1\\ ED=5$                    
 $\frac{12}{sin\angle AO_{1}O_{2}} = 13 \\ sin\angle AO_{1}O_{2}= \frac{12}{13} \\$ , $\angle CO_{1}B = 180а - 2*arcsin(\frac{12}{13})$ 
   $\angle O_{1}O_{2}B = arcsin\frac{5}{13} \\ \angle O_{2} = 180а - 2*arcsin \frac{5}{13}$  
       $S_{EDCO_{1}} = S_{CO_{1}B} + S_{O_{1}O_{2}B } * 2 + S_{BO_{2} D } = \\ \frac{12}{2}*5*2 + \frac{25*sin( 2*arcsin\frac{12}{13} ) }{2} + \frac{12^2*sin(2arcsin\frac{5}{13})}{2} = 60 + 60 = 120$