Question

Две окружности касаются внешним образом в точке к. прямая касается первой окружности в точке а, а второй – в точке в. прямая вк пересекает первую окружность в точке d, прямая ак пересекает вторую окружность в точке с. а) докажите, что прямые ad и bc параллельны. б) найдите площадь треугольника dкс, если известно, что радиусы окружностей равны 1 и 4.

Answer 1

Окружность с центром О₁ касается прямой в точке А,  радиус окружности О₁А=О₁К.
Окружность с центром О₂ касается прямой в точке В,  радиус окружности О₂В=О₂К.
Через точку К проведем общую касательную к 2 окружностям, которая пересекает АВ в точке Е.
а) Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
Значит АЕ=ЕК и ВЕ=ЕК, тогда АЕ=ВЕ.
Получается, что ЕК - медиана ΔАВК и ЕК=АВ/2, значит ΔАВК прямоугольный (угол АКВ - прямой) 
Следовательно, прямые ВД и АС пересекаются под прямым углом, значит вписанные <АКД=<ВКС=90°. А т.к. вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр, то значит АД и ВС - это диаметры окружностей.
Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания, тогда АД ⊥АВ, ВС⊥АВ.
Значит АД || ВС (две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны), ч.т.д. 
б)  По условию радиус окружности О₁А=О₁К=1, а радиус окружности О₂В=О₂К=4.
Диаметры АД=2, ВС=8
Прямоугольные ΔАКД и ΔСКВ подобны по острому углу (<ДАК=<ВСК как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АД и ВС секущей АС).
Значит АК/КС=ДК/КВ=АД/ВС=2/8=1/4
Из прямоугольного ΔДАВ, в котором АК - высота из прямого угла на гипотенузу ВД:
АК²=ДК*КВ=ДК*4ДК=4ДК²
АК=2ДК
Из прямоугольного ΔДАК:
АД²=ДК²+АК²=ДК²+4ДК²=5ДК²
ДК=АД/√5=2/√5
АК=4/√5
КС=4АК=16/√5
Площадь Sдак=АК*ДК/2=4/√5 * 2/√5 / 2=4/5
У ΔДАК и ΔДАС одинаковые высоты из вершины, значит их площади Sдак/Sдас=АК/АС=4/√5 / 20/√5=1/5
Sдас=5Sдак=5*4/5=4
Sдкс=Sдас-Sдак=4-4/5=16/5=3,2
ответ: 3,2

Answer 2

А) Проведем общую касательную РМ. АР=РК как касательные к окружности из одной точки. Значит <PAK=<PKA (треугольник АРК - равнобедренный).
<ADK=<PAK (так как <ADK вписанный опирающийся на дугу АК, а <PAK -угол между касательной AP и хордой, стягивающей дугу АК).
<PKA=<MKC как вертикальные, <MKC=<CBK (так как <CBK вписанный опирающийся на дугу KC, а <MKC -угол между касательной MK и хордой, стягивающей дугу КC).
Следовательно, <ADK=<CBK, а это внутренние накрест лежащие углы при прямых AD и ВС и секущей DB. Значит AD параллельна СВ, что и требовалось доказать.

б) Соединим центры окружностей с точкой Р. Имеем прямоугольный треугольник ОРО1, в котором гипотенуза ОО1 делится высотой РК из прямого угла на две части: R и r или 4 и 1. По известной формуле высота РК=√4*1=2. Кроме того, высота, опущенная на гипотенузу, связана с катетами прямоугольного треугольника соотношением:
1/a²+1/b²=1/f², где а и b - катеты, а f - высота. Тогда в прямоугольном треугольнике ОАР с катетами ОА=4 и АР=2, квадрат высоты к гипотенузе ОР равен 16/5, а высота = (4√5)/5. Но отрезок АК равен этой удвоенной высоте, то есть (8√5)/5. точно так же найдем ВК из прямоугольного треугольника РВО1 с катетами 2 и 1. ВК=(4√5)/5.
Итак, мы имеем треугольник АКВ со сторонами АК=(8√5)/5, КВ=(4√5)/5 и АВ=4. По Герону находим площадь этого треугольника. Полупериметр р=(12√5+20)/10, (р-а)=(20-4√5)/10, (р-b)=(20+4√5)/10 и (р-с)=(12√5-20)/10. Отсюда Sakb=3,2ед².
Но выше мы доказали, что ADCB - трапеция с параллельными основаниями AD и ВC, в которой диагонали DB и AC делят ее на 4 треугольника, два из которых подобны (DAK и ВКС), а два других - равновелики (АКВ и DКС). Площадь треугольника АКВ мы только что нашли, значит площадь треугольника DKC=3,2.
ответ: Sdkc=3,2.