Проверим квадраты сторон треугольника АВС:
AB=5, BC=12, AC=13.
5² +12² = 25 + 144 = 169,
13² = 169. Треугольник АВС - прямоугольный, угол АВС - прямой.
Поэтому треугольник АМС лежит в вертикальной плоскости.
Проверим квадраты сторон треугольника ВМС:
ВМ=15, BC=12, МC=9.
9² +12² = 81 + 144 = 225,
15² = 225. Треугольник ВМС - прямоугольный, угол ВМС - прямой.
Угол α между плоскостями треугольника ABC и прямоугольника ABMN соответствует плоскому углу МВС.
α = arc sin(MC/BM) = arc sin(9/15) = arc sin(3/5) = 0,643501 радиан = 36,8699°.
Дано:
ΔABC - прямоугольный и равнобедренный
∠С = 90° AC = BC
AB = 12 см CM⊥(ABC)
CM = 6 см
--------------------------------------------------------------------
Найти:
ρ(M,AB) - ?
1) На рисунке проведем CH⊥AB
2) CM⊥AB, так как CM⊥(ABC), AB⊂(ABC)
CH⊥AB по построению, значит, MH⊥AB по теореме о трёх перпендикулярах, тогда MH = ρ(M,AB)
3) Так как ΔABC - прямоугольный и равнобедренный, то CH - высота и медиана, тогда:
CH = AH = BH = 1/2 × AB = 1/2 × 12 см = 6 см
4) CM⊥(ABC), CH⊂(ABC), значит, CM⊥CH и ΔMCH - прямоугольный.
5) Воспользуемся по теореме Пифагора в ΔMCH:
MH² = CM² + CH² - теорема Пифагора
MH = √CM² + CH² = √(6 см)² + (6 см)² = √36 см² + 36 см² = √72 см² = √36×2 см² = 6√2 см ⇒ ρ(M,AB) = MH = 6√2 см
ответ: ρ(M,AB) = 6√2 см
P.S. Рисунок показан внизу↓
Радиусы окружности с центром О₂ О₂А=О₂В=О₂С
Из О₁ на АС опустим перпендикуляр О₁Д..
Из О₂ на АС перпендикуляром будет О₂М, т.к. точка М делит хорду пополам (диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам).
Следовательно, проекция отрезка О₁О₂ это отрезок ДМ.
ΔАО₁М - равнобедренный (О₁А=О₁М), значит О₁Д - высота, медиана и биссектриса.
Значит АД=ДМ
По условию АС=2АМ=2*2ДМ=4ДМ, ч.т.д
б) О₁А=5, О₂С=17, АС=16
Значит АД=ДМ=16/4=4, АМ=МС=8
Из прямоугольного ΔАО₁Д:
О₁Д=√(О₁А²-АД²)=√25-16=3
Из прямоугольного ΔАО₂М:
О₂М=√(О₂А²-АМ²)=√289-64=15
Продолжим О₂М до пересечения прямой О₁К, параллельной АС (К-точка пересечения). Полученный четырехугольник О₁ДМК - прямоугольник (О₁Д=МК=3, О₁К=ДМ=4)
О₂К=О₂М+МК=15+3=18
Из прямоугольного ΔО₁О₂К:
О₁О₂=√(О₁К²+О₂К²)=√(16+324)=√340=2√85
и еще вариант:
центр О₁ мог лежать и внутри окружности с центром О₂ (внутри ΔАО₂М)
тогда О₂К=О₂М-МК=15-3=12
Из прямоугольного ΔО₁О₂К:
О₁О₂=√(О₁К²+О₂К²)=√(16+144)=√160=4√10