Периметр треугольника равен сумме длин его сторон, т.е. P = a + b + c; Пусть одна из сторон равна x, тогда вторая на 5 меньше, т.е (x-5), а третья сторона 9 + 16 = 25. В итоге запишем конечную формула периметра для нашего треугольника P = x + (x-5) + 25. Продолжим рассуждения. Обозначим высоту (h) за y, в данном случае она разбивает наш треугольник на два прямоугольных треугольника.
Первого со сторонами x - 5; одна из сторон общая это высота равная y и третья сторона часть от общего треугольника 9. Второй треугольник со стороной x, та же общая сторона y и третья сторона 16. Итого записываем уравнения Пифагора (сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы) для двух прямоугольников в систему. 9^2 + y^2 = (x-5)^2 16^2 + y^2 = x^2
Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово и максимально понятно для школьника.
1. В начале давайте вспомним формулу объема прямоугольного параллелепипеда: V = L * W * H, где V - объем, L - длина, W - ширина и H - высота.
2. Теперь нам нужно определить, как связаны радиус сферы и стороны прямоугольного параллелепипеда, который описан около этой сферы.
3. Рассмотрим этот параллелепипед. Диагональ параллелепипеда - это диаметр сферы, которая описана около этого параллелепипеда. Поскольку это прямоугольный параллелепипед, диагональ можно выразить с помощью теоремы Пифагора: диагональ^2 = L^2 + W^2 + H^2.
4. Для нашей задачи, давайте обозначим диагональ как D и радиус сферы как R. Тогда у нас есть D^2 = L^2 + W^2 + H^2.
5. Однако, в данной задаче мы знаем только объем параллелепипеда, а не его размеры. Так что у нас есть объем, равный 125, и мы можем записать уравнение V = L * W * H = 125.
6. Разрешим это уравнение относительно одной переменной. Например, выразим H через L и W: H = 125 / (L * W).
7. Теперь мы можем заменить H в уравнении для диагонали: D^2 = L^2 + W^2 + (125 / (L * W))^2.
8. Возводим оба выражения в квадрат: D^2 = L^2 + W^2 + 15625 / (L^2 * W^2).
9. Диагональ параллелепипеда равна двойному радиусу сферы, то есть D = 2R. Заменяем D в уравнении: (2R)^2 = L^2 + W^2 + 15625 / (L^2 * W^2).
11. Заметим, что наше уравнение содержит две переменные L и W, а мы хотим найти радиус R. Поэтому мы должны связать эти переменные. Мы знаем, что периметр основания параллелепипеда, который равен 2L + 2W, должен быть больше или равен диаметру сферы D, которая равна 2R. То есть 2L + 2W >= 2R.
12. Возьмем это неравенство и разделим на 2: L + W >= R. Теперь мы можем заменить L + W в уравнении 4R^2 = L^2 + W^2 + 15625 / (L^2 * W^2): R^2 >= (L^2 + W^2 + 15625 / (L^2 * W^2))/4.
14. Поскольку R^2 неотрицательное число, весь правый угол неравенства также неотрицательный. Значит, у нас есть нижняя граница: R^2 >= 0.
15. Таким образом, чтобы уравнение 4R^2 = L^2 + W^2 + 15625 / (L^2 * W^2) имело решение, необходимо, чтобы правая сторона была неотрицательна. То есть L^2 + W^2 + 15625 / (L^2 * W^2) >= 0.
16. Здесь мы можем исключить случай, когда L и W равны нулю, так как у нас есть диагональ параллелепипеда и радиус сферы, которые обе являются положительными. Так что L и W положительные.
17. Когда L и W положительные, у нас также есть неравенство AM-GM: (L^2 + W^2)/2 >= sqrt(L^2 * W^2), где AM обозначает среднее арифметическое и GM обозначает среднее геометрическое. Используем это неравенство для упрощения неравенства: L^2 + W^2 + 15625 / (L^2 * W^2) >= (2sqrt(L^2 * W^2))/(L^2 * W^2) + 15625 / (L^2 * W^2).
19. Обратим внимание, что (L^2 * W^2) является положительным числом для всех положительных L и W. Таким образом, все выражение 15625 / (L^2 * W^2) является положительным числом.
20. Значит, чтобы правая сторона неравенства была неотрицательной, нам необходимо, чтобы выражение 2 / sqrt(L^2 * W^2) также было неотрицательным.
21. Мы знаем, что выражение 2 / sqrt(L^2 * W^2) будет неотрицательным, если выражение sqrt(L^2 * W^2) будет положительным.
22. Мы можем записать это как L * W > 0, что означает, что произведение L и W должно быть положительным.
23. Таким образом, когда L * W > 0, у нас есть условие, чтобы у весьма сложного неравенства L^2 + W^2 + 15625 / (L^2 * W^2) было неотрицательное значение.
24. Итак, мы пришли к выводу, что условие для радиуса сферы R - это L * W > 0.
25. Возвращаясь к нашей задаче, мы знаем, что объем параллелепипеда V = L * W * H = 125. Отсюда мы можем записать H = 125 / (L * W).
26. Мы также знаем, что периметр основания параллелепипеда, который равен 2L + 2W, должен быть больше или равен диаметру сферы 2R, то есть 2L + 2W >= 2R.
27. Используя это неравенство и выражение H = 125 / (L * W), мы можем перейти к следующему шагу - подстановке этих выражений в неравенство.
28. Тогда у нас будет неравенство 2L + 2W >= 2R, которое можно записать в виде L + W >= R.
29. Теперь мы можем заменить H = 125 / (L * W) в это неравенство: L + W >= R = 125 / (L * W).
30. Упрощаем выражение: L + W >= 125 / (L * W).
31. Таким образом, мы получили итоговое неравенство, которое определяет условие для радиуса сферы R: L + W >= 125 / (L * W).
32. Теперь нам нужно найти радиус сферы. Для этого мы можем воспользоваться простым наблюдением.
33. Как видно из неравенства L + W >= 125 / (L * W), сумма L и W на левой стороне должна быть больше или равна 125 / (L * W) на правой стороне.
34. Это нам говорит, что если у нас есть пара положительных чисел L и W, таких что L + W >= 125 / (L * W), то радиус сферы R будет удовлетворять этому неравенству.
35. Таким образом, чтобы найти радиус сферы, нам нужно найти значения L и W, которые удовлетворяют неравенству L + W >= 125 / (L * W).
36. Зная, что объем параллелепипеда равен 125, мы можем искать соответствующие значения L и W, удовлетворяющие этому условию.
37. Найдем эти значения численным методом или графически. Перебирая значения L и W, мы можем найти соответствующие значения радиуса R, удовлетворяющие неравенству.
38. Получив отличный вариант значений L, W и R можно предоставить окончательный ответ.
Предлагаю вам самостоятельно решить это уравнение двумя указанными выше методами и получить окончательный ответ.
а) Чтобы построить точки P(4; 0; 0), K(0; 2; 0), T(2; 0; 4) в прямоугольной системе координат, мы должны построить три отрезка, соединяющих эти точки с началом координат (0; 0; 0).
Начнем с точки P(4; 0; 0). Мы откладываем 4 единицы вдоль положительного направления оси x и не откладываем ничего вдоль осей y и z, поскольку y и z координаты равны 0.
Затем строим точку K(0; 2; 0). Мы откладываем 2 единицы вдоль положительного направления оси y и не откладываем ничего вдоль осей x и z, поскольку x и z координаты равны 0.
Наконец, строим точку T(2; 0; 4). Мы откладываем 2 единицы вдоль положительного направления оси x, не откладываем ничего вдоль оси y и откладываем 4 единицы вдоль положительного направления оси z.
Итак, построены точки P, K и T в прямоугольной системе координат.
б) Точка P находится на оси x, поскольку ее координаты y и z равны 0.
Точка K находится на оси y, поскольку ее координаты x и z равны 0.
Точка T находится на плоскости xy, поскольку ее координата z равна 0.
в) Чтобы доказать, что треугольник PKT равнобедренный, нам нужно установить, что две его стороны равны.
Пусть одна из сторон равна x, тогда вторая на 5 меньше, т.е (x-5), а третья сторона 9 + 16 = 25. В итоге запишем конечную формула периметра для нашего треугольника P = x + (x-5) + 25.
Продолжим рассуждения.
Обозначим высоту (h) за y, в данном случае она разбивает наш треугольник на два прямоугольных треугольника.
Первого со сторонами x - 5; одна из сторон общая это высота равная y и третья сторона часть от общего треугольника 9. Второй треугольник со стороной x, та же общая сторона y и третья сторона 16. Итого записываем уравнения Пифагора (сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы) для двух прямоугольников в систему.
9^2 + y^2 = (x-5)^2
16^2 + y^2 = x^2
81 + y^2 = x^2 + 25 - 10x
256 + y^2 = x^2
y^2 - x^2 = 25 - 81 - 10x
y^2 - x^2 = - 256
Приравниваем: 25 - 81 - 10x = - 256
- x = (-256 - 25 + 81) / 10
x = (256 + 25 - 81) / 10 = 200/10 = 20 см.
Подставим в нашу формулу для нахождения периметра
P = x + (x-5) + 25 = 20 + (20-5) + 25 = 60 см.