В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ABCD-прямоугольник. Все боковые грани тоже прямоугольники. AD=12, CD=5, A1C=15. Найдите углы между A1C и плоскостью АВС и между A1C и плоскостью BB1С1.
а) Угол между А1С и плоскостью АВС– это угол АСА1 между А1С и её проекцией АС на плоскость АВС.
По т.Пифагора АС=√(AD*+CD*)=√(144=25)=13
cosACA1=AC:A1C=13/15
б) Угол между А1С и плоскостью ВВ1С - это угол А1СВ1 между А1С и её проекцией СВ1 на плоскость ВВ1С.
sin A1CB1=A1B1:A1C
A1B1=CD=5
sin A1CB1=5:15=1/3
ответ: arccos 13/15 ( это 29°55') и arcsin 1/3 ( это 19°28')
биссектриссы АК и ВМ, значит
угол ВАК=угол САК=0.5*угол А
угол СВМ=угол АВМ=0.5*угол В
MB=AB, значит треугольник АМВ - равнобедренный
и угол ВМА=угол ВАС=угол А
АК=АВ, значит треугольник АКВ - равнобедренный
и угол АВК=угол АКВ=угол В
отсюда так как сумма углов треугольника 180 градусов
угол АВК+угол ВАК+угол АКВ=180 градусов
угол ВМА+угол МАВ+угол АВМ=180 градусов
угол В+0.5*угол А+угол В=180 градусов
угол А+0.5*угол В+угол А=180 градусов
2*угол А+0.5угол В=180 градусов
0.5угол А+2*угол В=180 градусов
Сложив
2.5*(угол А+угол В)=180+180 градусов=360 градусов
угол А+угол В=360:2.5=144 градусов
А=144-В
0.5А+2В=180
0.5(144-В)+2В=180
72-0.5В+2В=180
72+1.5В=180
1.5*В=180-72=108
В=108:1.5=72
А=144-В=144-72=72
угол С=180 градусов-угол А-угол В=180-72-72=36 градусов
ответ: 72 градусов, 72 градусов, 36 градусов
180° -((<ABC +<BAC+<BCA)/2+<BCA/2 ) =180° -(90° +<BCA/2 ) =
=90° - <BCA/2= 90° - 28°/2 = 90° - 14°=76° .