1)Треугольники АОК и РОС равны по трем углам: ∠АКР=∠КРС,∠РСА=∠САК как накрестлежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущих, углы при О равны, как вертикальные. Следовательно, равны и треугольники АОВ и КОС по двум сторонам и углу между ними: АО=ОС, КО=ОР, углы при О - вертикальные. ⇒ РС=АК, АР=КС. Четырехугольник, в котором противоположные стороны попарно равны - параллелограмм. ----- 2) Площадь АРСК можно вычислить произведением высоты на основание. Высота этого параллелограмма, проведенная из вершины С к АК = СД. S =ah=AK*CD CD - катет прямоугольного треугольника с отношением сторон АС:АD:DC=13:12:х. Треугольник из Пифагоровых троек, и СD=5 ( проверить можно по т.Пифагора) S=4*5=20 (ед.площади) ----- 3) РК найдем из прямоугольного треугольника КРН, где РН⊥КD; РН=СD=5 По т.Пифагора КР= √(КН² +РН² )=√41 ---- 4) Одна из формул для нахождения площади параллелограмма S=0,5*d1*d2*sin(α) 20=0,5*AC*KP*sin α sin α=40:(13*√41)=40: (13*6,403) ≈ 0,4805 По таблице синусов это синус угла 28°43'
Можно так. 1) Середина диагонали АС прямоугольника является точкой пересечения диагоналей, а также центром симметриии прямоугольника. Значит точка О делит отрезок РК пополам, тогда в ΔСОР =ΔАОК по двум сторонам и углу между ними (ОР=ОК, АО=ОС и углы РОС и АОК равны как вертикальные). Отсюда РС=АК, а также РСIIАК, Значит АРСК параллелогамм. 2) S(АРСК)=РС*CD, CD=√(AC²-AD²)=√(169-144)=5, PC=AK=4, S(АРСК)=4*5=20. 3) Проведем РМ II CD, РМ=5, КМ=8-4=4, РК=√(РМ²+КМ²)=√(25+16)=√41, 4) По теореме косинусов АК²=АО²+ОК²-2АО*ОК*cos(AOK). АК=4, АО=6,5, ОК=√41/2.
решение представлено на фото