Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит прямоугольный треугольник на подобные треугольники.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна длине двух его медиан.
Пусть коэффициент данного по условию отношения высоты и медианы будет 1.
Тогда высота равна 40, медиана 41, гипотенуза 2*41=82
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
Примем отрезок АН гипотенузы за х, НВ тогда 82-х
Квадрат высоты равен произведению отрезков АН и НВ
СН²=АН*НВ
1600=х(82-х)
х²-82х+1600=0
Решив квадратное уравнение, найдем два значения х=50 и х=32.
АН, как более короткий отрезок, равен 32,
НВ=50
Треугольники АНС, СНВ и АВС подобны .
И отношение их катетов одинаково.
Найдем отношение известных катетов в треугольниках АНС и СНВ. АН:СН=СН:НВ=4:5
АС:СВ=4/5
Но всегда простое решение - лучше сложного.
Вариант решения:
Основа решения:
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна длине двух его медиан.
Между медианой и высотой образовался прямоугольный треугольник с гипотенузой СМ=41 и катетом СН=40.
По т.Пифагора отрезок гипотенузы НМ=9.
И тогда катет АН треугольника АНС относится к соответственному катету СН подобного ему треугольника СНВ как АН:НС=32:40=4/5
И вариант третий - если знать, что в треугольнике с гипотенузой 41, и катетом 40 второй катет равен 9 ( одна из троек Пифагора)- позволяет обойтись самым минимумом вычислений.
1.Углы альфа и бетта вписанные, значит они равны половине дуги на которую опираются, следовательно дуга соответствующая углу альфа равна 21*2=42(град), а дуга соответствующая углу бетта 49*2=98(град).
Найдем градусную меру дуги соответствующую углу х, 360-(180+98+42)=40, значит угол х=1/2*40=20(град)
ответ: 20град.
2.2х+3х+4х=180
9х=180
х=20
20*2=40(1-ый угол)
20*3=60(2-ой угол)
20*4=80(3-ий угол)
Проверка:
40+60+80=180
3.В треугольнике АКС угол К-прямой=90 градусов. Т.к Хорды окружности АК и КС построены из одной точки К на концы диаметра. Отсюда по тореме пифагора АС²=АК²+КС²
АС²=12²+9²=225
АС=√225=15
Радиус равен 15/2=7,5 (рисунок внизу)
S(осн)АВ•CD•sinBAD=4•8•√3/216√3 см²
2 S(осн)=32√3 см²
S(бок)=Р•Н=2•(4+8)•10=240 см²
S(полн)=(32√3+240) см².