При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов, вертикальные углы равны между собой ( см. рисунок) ∠1=∠2 ∠3=∠4 По условию задачи сумма ( ∠3+∠4) больше суммы (∠1+ ∠2) в три раза ∠3+∠4=3·(∠1+∠2) или 2·∠3=3·(2·∠1) 2·∠3=6·∠1 ∠3=3·∠1 Углы 1 и 3 - смежные. Сумма смежных углов равна 180° ∠1+∠3=180° ∠1+3·∠1=180° 4·∠1=80° ∠1=45° ∠3=135° ответ.∠1=∠2=45°; ∠3=∠4=135°
Пусть даны два прямоугольных треугольника АВС и А1В1С1, у которых <А=<А1=90°, <C=<C1 и высоты АН и А1Н1 равны. Тогда и <B=<B1, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то есть <B=90-С, а <D1=90-С1. Высоты АН и А1Н1 делят треугольники АВС и А1В1С1 на подобные. Значит <BAH=<C, a <CAH=<B. Точно так же <B1A1H1=<C1, a <C1A1H1=<B1. Но <C=<C1 a <B=<B1. Значит <BAH=<B1A1H1, a <CAH=<C1A1H1. Тогда прямоугольные треугольники АВН и А1В1Н1 равны по катету (АН=А1Н1 -дано) и прилежащему острому углу (<BAH=<B1A1H1). Значит ВН=В1Н1. Прямоугольные треугольники АСН и А1С1Н1 равны по катету (АН=А1Н1 -дано) и прилежащему острому углу (<СAH=<С1A1H1). Значит СН=С1Н1. ВС=ВН+СН, В1С1=В1Н1+С1Н1. Отсюда ВС=В1С1. Гипотенузы треугольников ВС и В1С1 равны, острые углы их тоже равны, значит треугольники АВС и А1В1С1 равны по равенству гипотенузы и острому углу (третий признак). Что и требовалось доказать.
Пусть даны два прямоугольных треугольника АВС и А1В1С1, у которых <А=<А1=90°, <C=<C1 и высоты АН и А1Н1 равны. Тогда и <B=<B1, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то есть <B=90-С, а <D1=90-С1. Высоты АН и А1Н1 делят треугольники АВС и А1В1С1 на подобные. Значит <BAH=<C, a <CAH=<B. Точно так же <B1A1H1=<C1, a <C1A1H1=<B1. Но <C=<C1 a <B=<B1. Значит <BAH=<B1A1H1, a <CAH=<C1A1H1. Тогда прямоугольные треугольники АВН и А1В1Н1 равны по катету (АН=А1Н1 -дано) и прилежащему острому углу (<BAH=<B1A1H1). Значит ВН=В1Н1. Прямоугольные треугольники АСН и А1С1Н1 равны по катету (АН=А1Н1 -дано) и прилежащему острому углу (<СAH=<С1A1H1). Значит СН=С1Н1. ВС=ВН+СН, В1С1=В1Н1+С1Н1. Отсюда ВС=В1С1. Гипотенузы треугольников ВС и В1С1 равны, острые углы их тоже равны, значит треугольники АВС и А1В1С1 равны по равенству гипотенузы и острому углу (третий признак). Что и требовалось доказать.
( см. рисунок)
∠1=∠2
∠3=∠4
По условию задачи сумма ( ∠3+∠4) больше суммы (∠1+ ∠2) в три раза
∠3+∠4=3·(∠1+∠2)
или
2·∠3=3·(2·∠1)
2·∠3=6·∠1
∠3=3·∠1
Углы 1 и 3 - смежные. Сумма смежных углов равна 180°
∠1+∠3=180°
∠1+3·∠1=180°
4·∠1=80°
∠1=45°
∠3=135°
ответ.∠1=∠2=45°; ∠3=∠4=135°