Question

Сточки окружности проведены две перпендикулярные хорды, отдаленные от центра на 3 см и на 5см. найдите длины этих хорд.

Answer 1

Пусть AB и AC и есть эти хорды. O - центр окружности. $OH_1$ = 3 - высота, опущенная из O на AB. $OH_2$ = 5 - высота, опущенная из O на AC. Т.к. ∠ВАС = 90°(т.к. AB⊥AC по усл.), то дуга BC = 2*(∠ВАС) = 180°. Значит BC - диаметр и центр окружности О∈BC, при чём ВО=ОС ⇒ BO:OC=1:1.
Далее заметим, что $OH_1AH_2$ - прямоугольник т.к. ∠$OH_1A=OH_2A=90$°(из перпендикулярности $OH_1$⊥AB и $OH_2$⊥AC) и ∠А = 90°(из того, что AB⊥AC по усл). Значит $H_1A=OH_2=5$ и $H_2A=OH_1=3$. Далее по теореме Фалеса:
$BH_1:H_1A=BO:OC=1:1$ Значит $BH_1=H_1A=5$. Аналогично находим, что $CH_2=H_2A=3$. Тогда $AB=AH_1+H_1B=5+5=10$ и $AC=AH_2+H_2C=3+3=6$. ответ: 10 и 6