Пусть данные плоскости а и b.
А ∈ а, В ∈ b.
АН⊥СН, ВС⊥СН
ВН - проекция АВ на плоскость b,
АС - проекция АВ на плоскость а.
∆ АСН - прямоугольный, ∠АНС=90°
По т.Пифагора АН²=АС²-СН²=256-144=112
АН перпендикулярен линии пересечения взаимно перпендикулярных плоскостей, следовательно, АН перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости b и проходящей через Н.
∆ АНВ - прямоугольный. ∠АНВ=90°
По т.Пифагора АВ²=АН²+ВН²=512
АВ=√512=16√2
Или:
∆ СНВ - прямоугольный, ∠ВСН=90° ⇒
По т.Пифагора СВ²=ВН²-СН²=400-144=256
ВС=√256=16
∆ АСВ- прямоугольный. ∠АСВ=90°
По т.Пифагора АВ² = АС² +ВС² =256+256=512⇒
АВ=√512=16√2
Одним из эффективных методов решения геометрических задач является метод дополнительных построений. Дополнительные построения позволяют свести задачу к задачам, решения которых хорошо известны или легко могут быть получены. Требуется большой опыт, изобретательность, геометрическая интуиция, чтоб догадаться, какие дополнительные линии следует провести. Иногда условие задачи подсказывает выбор дополнительного построения.
Так практика показывает, что полезно в трапеции провести через одну вершину прямую, параллельную противоположной боковой стороне; если речь в задаче идет о диагоналях, то дополнительное построение состоит в проведении через одну из ее вершин прямой, параллельной диагонали.
Если в условии говорится о медиане треугольника, то стоит попытаться продолжить эту медиану на такое же расстояние.
Если в задаче фигурирует середина одной или нескольких сторон четырехугольника, то стоит добавить середины каких-то других сторон или диагоналей и рассмотреть средние линии соответствующих треугольников. Этот прием называют методом «средних линий».
Таким образом, выделены три разновидности дополнительных построений:
1) продолжение отрезка на определенное расстояние или до пересечения с заданной прямой;
2) проведение прямой через две заданные точки;
3) проведение через заданную точку прямой, параллельной данной прямой.
Основные направления, которые можно выявить во всем многообразии подходов к изучению дополнительных построений:
1) Обучение эвристическим приемам решения задач и организация исследовательской деятельности при осуществлении поиска дополнительных построений.
2) Использование различных дополнительных построений, связанных с данной фигурой.
3)Использование дополнительных построений определённого вида при решении конкретных геометрических задач.
4) Использование дополнительных построений (плоскостных чертежей и сечений) при решении стереометрических задач.
П= 2СД + 2БС= 2*6+2*3=12+6=18