Question

Решить : 1. длина ребра куба авсда1в1с1д1 равна 2. вычислите скалярное произведение векторов: а)ав1 и сс1 ; б)ав1 и сд1 ;

Answer 1

Скалярное проиведение векторов $\displaystyle \vec{a} ,\vec{b}$: $\displaystyle \begin{pmatrix}\vec{a} ,\vec{b} \end{pmatrix} =|\vec{a} |\cdot |\vec{b} |\cdot \cos{\alpha }$, где α угол между векторами.

а)

$\displaystyle \vec{CC_1 } =\vec{AA_1 }$

В прямоугольном ΔAA₁B₁:

AB₁ - гипотенуза; $\cos{A} =\dfrac{AA_1 }{AB_1 } .$

$\displaystyle \begin{pmatrix}\vec{AB_1 } ,\vec{CC_1 } \end{pmatrix} =|\vec{AB_1 } |\cdot |\vec{AA_1 } |\cdot \cos{(AA_1 B_1 )} =\\=AB_1 \cdot AA_1 \cdot \frac{AA_1 }{AB_1 } =AA_1 ^2 =2^2 =4$

ответ: 4.

б)

$\displaystyle \vec{CD_1 } =\vec{BA_1 }$

AB₁⊥BA₁ как диагонали квадрата, поэтому все углы при пересечении равны 90°, а значит угол между векторами $\displaystyle \vec{AB_1 } ,\vec{BA_1 } :$ 90°.

$\displaystyle \begin{pmatrix}\vec{AB_1 } ,\vec{BD_1 } \end{pmatrix} =|\vec{AB_1 } |\cdot |\vec{BA_1 } |\cdot \cos{90^{\circ } } =\\=AB_1 \cdot BA_1 \cdot 0=0$

ответ: 0.