В прямоугольном треугольнике гипотенуза BC равна 20, катет AB равен 16. Найдите квадрат расстояния от вершины A до биссектрисы угла C.
Расстояние от точки до прямой измеряется перпендикуляром, проведенным от этой точки до прямой. Сделаем рисунок. Пусть биссектриса угла С будет СК. Биссектриса треугольника (любого) делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон. ⇒ АК:КВ=АС:ВС=12:20=3/5 ⇒АК=АВ:(3+5)*3 АК=6 Рассмотрим ⊿КАС КС - гипотенуза КС=√(АК²+АС²)=√180=6√5 АН можно найти из ⊿АНК. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом высотой АК²=КН*КС 36=КН*6√5 КН=36:6√5=6:√5 АН²=АК²-КН² АН²=36-(36:5)=144/5=28,8 ответ: квадрат расстояния от вершины A до биссектрисы угла C равен 28,8
В прямоугольном треугольнике гипотенуза BC равна 20, катет AB равен 16. Найдите квадрат расстояния от вершины A до биссектрисы угла C.
Расстояние от точки до прямой измеряется перпендикуляром, проведенным от этой точки до прямой. Сделаем рисунок. Пусть биссектриса угла С будет СК. Биссектриса треугольника (любого) делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон. ⇒ АК:КВ=АС:ВС=12:20=3/5 ⇒АК=АВ:(3+5)*3 АК=6 Рассмотрим ⊿КАС КС - гипотенуза КС=√(АК²+АС²)=√180=6√5 АН можно найти из ⊿АНК. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом высотой АК²=КН*КС 36=КН*6√5 КН=36:6√5=6:√5 АН²=АК²-КН² АН²=36-(36:5)=144/5=28,8 ответ: квадрат расстояния от вершины A до биссектрисы угла C равен 28,8
Опустим высоту ВН на основание АС.
В прямоугольном треугольнике АВН:
CosA= AH/AB => AH/10= 2√6/5 => AH = 4√6
Тогда по Пифагору: ВН = √(100 - 96) = √4 =2ед.
Или так: CosA = 2√6/5 => SinA = √(1-24/25) = 1/5.
SinA = BH/AB => BH = AB*SinA =10*1/5=2ед.
ответ: высота равна 2 ед.