Question

Дано: δabc, ab=bc, e-точка пересечения bd и ae, bd-высота; ae-биссектриса, sin∠abd=5/15, a(-15; -2), c(35; -2) найти: r решение: ? ***нужно решить через формулу герона и найти радиус по формуле: r=abc/4s***

Answer 1

Основание АС треугольника АВС равно 35 - (-15) = 50 ед.
Тогда AD = 50:2 = 25 ед.
По условию AD:AB = 5:15, откуда АВ = 15*5 = 75 ед.

Полупериметр треугольника АВС равен (75 + 75 + 50)/2 = 100 ед.

Его площадь (по формуле Герона) равна $\sqrt{100*(100 - 75)*(100 - 75)*(100 - 50)} = \sqrt{100*25*25*50}$ = 1250√2.

Радиус описанной окружности равен
R = 75*75*50/(4*1250√2) = 28 1/8 *√2

Answer 2

Найдем длину АС:
$AC= \sqrt{(35-(-15))^2+(-2-(-2))^2} =50$
Так как АВ=ВС, то треугольник АВС равнобедренный с основанием АС. Тогда, ВD - также медиана и биссектриса.
Найдем AD и DC:
$AD=DC= \frac{AC}{2} = \frac{50}{2} =25$
Рассмотрим треугольник АВD:
$\sin ABD= \frac{AD}{AB} \Rightarrow AB= \frac{AD}{\sin ABD} \\\ AB= \frac{25}{5/15} =75$
Так как треугольник равнобедренный, то и третья его сторона равна 75.
По формуле Герона:
$S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где а, b, c - стороны треугольника, р - его полупериметр
Найдем полупериметр:
$p= \frac{AB+BC+AC}{2} = \frac{75+75+50}{2} =100$
Находим площадь:
$S= \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} \\\ S= \sqrt{100(100-75)(100-75)(100-50)} =\sqrt{100\cdot 25\cdot 25\cdot 50} =1250 \sqrt{2}$
Находим R по заданной формуле:
$R= \cfrac{abc}{4S} \\\ R= \cfrac{75\cdot75\cdot50}{4\cdot 1250\sqrt{2} } = \cfrac{225}{4\sqrt{2} } =\cfrac{225 \sqrt{2} }{8 }$
ответ: $\cfrac{225 \sqrt{2} }{8 }$